Question

设二维随机向量(X,Y )~f(x,y)=0.其它 =6y，0≤y≤x≤1求D（X）D（Y）协方差Cov(X,Y)及相关系数ρxy

Answer 1

问：设二维随机向量(X,Y )~f(x,y)=0.其它 =6y，0≤y≤x≤1求D（X）D（Y）协方差Cov(X,Y)及相关系数ρxy

答：你好，考虑一个二维随机向量 (X,Y)，其概率密度函数为 f(x,y)=6y，其中 0 \leq y \leq x \leq 1。我们希望计算 X 和 Y 的方差以及它们之间的协方差。 方差的计算X 和 Y 的方差可以表示为：\begin{aligned}Var(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\Var(Y) &= E[Y^2] - (E[Y])^2\end{aligned}其中，E[X] 和 E[Y] 是 x 和 Y的期望值，可以通过以下方式计算：\begin{aligned}E[X] &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x \cdot 6y \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\E[Y] &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \cdot 6y \mathrm{d}y \mathrm{d}x\end{aligned}接下来，我们需要计算 E[X^2] 和 E[Y^2]，它们可以表示为：\begin{aligned}E[X^2] &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x^2 \cdot 6y \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\E[Y^2] &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y^2 \cdot 6y \mathrm{d}y \mathrm{d}x\end{aligned}因此，我们可以计算出 X 和 Y 的方差：\begin{aligned}Var(X) &= \frac{1}{20} \\Var(Y) &= \frac{1}{60}\end{aligned}协方差的计算X 和 Y的协方差可以表示为：Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]其中，E[XY]可以表示为：E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \cdot 6y \mathrm{d}y \mathrm{d}x因此，我们可以计算出 X 和 Y 的协方差：

答：Cov(X,Y) = \frac{1}{360} 相关系数的计算X 和 Y 的相关系数可以表示为：\rho_{xy} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)} \sqrt{Var(Y)}}因此，我们可以计算出 X 和 Y 的相关系数：\rho_{xy} = \frac{1}{\sqrt{15}}因此，我们得到了二维随机向量 (X,Y) 的方差和协方差以及它们之间的相关系数。