Question

在等腰直角三角形abc中,ac=bc=6,角acb等于90度,在ab上截取一点d,以bd为边构造等边三角形bdm,连接cm,当cm取最小值时，求m到bc的距离

Answer 1

问：在等腰直角三角形abc中,ac=bc=6,角acb等于90度,在ab上截取一点d,以bd为边构造等边三角形bdm,连接cm,当cm取最小值时，求m到bc的距离

答：亲，您好，m到bc的距离为3(√2-1)。以下是解题步骤:首先，根据勾股定理，三角形ABC的斜边AB的长度为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。接着，我们来考虑等边三角形BDM。由于BM=BD=AB/2=3√2，所以三角形BDM的高就是DM到BM的距离。我们可以利用余弦定理求出角度DBC和角度DCB的大小：$cos \angle DBC = \frac{BD^2 + BC^2 - CD^2}{2 \cdot BD \cdot BC} = \frac{18+36-4x^2}{72}=\frac{1}{2}$$cos \angle DCB = \frac{CD^2 + BC^2 - BD^2}{2 \cdot CD \cdot BC} = \frac{36+36-x^2}{72}$因为$\angle DBC=\angle DCB$，所以$cos\angle DCB=cos\angle DBC$。把上式带入得：$\frac{36+36-x^2}{72}=\frac{1}{2}$解得 $x=6\sqrt{2}-6$。

答：接下来，我们来算一下DM到BC的距离。由于三角形BCM是等腰直角三角形，所以MC=BC/√2=3。又因为三角形BDM是等边三角形，所以DM=BM=3√2。所以DM到BC的距离就是3√2-3=3(√2-1)。因此，当CM取最小值时，M到BC的距离为3(√2-1)。

答：其中，1.$\sqrt{}$ 表示求平方根，例如 $\sqrt{4}=2$。2.$\frac{}{}$ 表示分数线，用于表示分数，例如 $\frac{1}{2}$ 表示 $1$ 除以 $2$。3.$\cdot$ 表示乘法，例如 $2\cdot3=6$。