Question

arctanx的定积分

Answer 1

求arctanx的不定积分：
∮arctanxdx
=xarctanx-∮x/（1+x^2）dx
=xarctanx-（1/2）*∮1/（1+x^2）d（x^2+1）
=xarctanx-（1/2）*ln（1+x^2）+C
然后上下限代入原函数xarctanx-（1/2）*ln（1+x^2），即可得arctanx的定积分的值。
arctanx是反正切函数，那么对于它的定积分，可以表示为：
∫（dx）/（1+x^2）
这个积分可以通过一定的变换来求解，例如可以使用代换法。设u=1+x^2，那么du/dx=2x，可以将dx用du表示，同时将原积分中的1+x^2替换成u，得到：
∫（dx）/（1+x^2）=（1/2）∫（du）/（u）
这个积分形式是比较简单的，直接对其进行求解，得到：
（1/2）ln|1+x^2|+C
其中，C是一个常数项，表示积分的任意常数。这个定积分的结果是一个log函数，表示反正切函数的积分结果。
需要注意的是，在计算过程中要注意分母为0的情况，需要考虑x的取值范围。同时，也要考虑到积分的常数项，因为积分的结果具有无穷多个解，在使用时需要仔细分析具体的应用情况。