Question

A是n阶实矩阵,证明正负惯性指数相等

Answer 1

问：A是n阶实矩阵,证明正负惯性指数相等

答：亲亲，以下是我的见解：A是n阶实矩阵，m表示A的秩，则有：1. A拥有m个非零特征值 λ1 > λ2 > … > λm > 0 和(n-m)个非零的负特征值 μ1 < μ2 < … < μ(n-m) 0。2. A的正特征值个数等于λi > 0(i=1,2,...,k)的个数k，A的负特征值个数等于μj < 0(j=1,2,...,l)的个数l，且k + l = n。因此，正负惯性指数分别为k和l，且它们的和为n，即：k + l = n这个式子说明了正特征值的个数和负特征值的个数之间存在着关系，即它们之和为矩阵的阶数。由于矩阵的阶数是固定的，所以k和l之间也是存在着关系的，它们相互制约，即如果一个增加，另一个就会减少。因此，正负惯性指数相等，即k=l，可以理解为矩阵正特征值的个数等于负特征值的个数，这是因为正特征值和负特征值之间存在着某种对称性。这个对称性可以用矩阵的转置来表示，在转置后，正特征值会变成负特征值，负特征值会变成正特征值，所以它们的个数应该是相等的。因此，我们证明了正负惯性指数相等。