设为上半球面 z=(a^2-x^2-y^2) 的下侧,计算 f_y(xy^2dydz+yz^2dzdx+(z-3)x^2d
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亲亲
您好，很高兴为您解答哦
在计算之前，我们需要知道一些有关上半球面的信息：- 上半球面的方程是 z = a^2 - x^2 - y^2，其中 a 是上半球面的半径。- 上半球面在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交。- 上半球面的法向量是向上的，即在 z > 0 的一侧。现在我们来计算这个积分：∫∫S xy^2dydz + yz^2dzdx + (z-3)x^2dxdy首先，我们需要确定积分区域 S。根据题目中的描述，S 是上半球面 z = a^2 - x^2 - y^2 的下侧。因此，我们可以将积分区域限制在 z 的范围为 0 到 a^2 - x^2 - y^2，而 x 和 y 的范围可以通过在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交得到。这样，我们可以写出积分区域 S 的参数化形式：S: { (x, y, z) = (r cosθ, r sinθ, z) | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ a^2 - r^2 }接下来，我们需要计算积分的每一项。按照积分顺序，第一项是 xy^2dydz：∫∫S xy^2dydz = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r cosθ (r sinθ)^2 dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^3 cosθ sin^2θ (a^2 - r^2) dy dr= 0 （因为被积函数是奇函数）第二项是 yz^2dzdx：∫∫S yz^2dzdx = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r sinθ z^2 dz dx dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^5 sinθ (a^2 - r^2)^2/2 dr dθ= (a^9)/18 （通过换元法计算得出）最后一项是 (z-3)x^2dxdy：∫∫S (z-3)x^2dxdy = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) (a^2 - r^2 - 3) r^3 cos^2θ dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a (a^7)/6 - (3a^5)/10 + (a^3 r^2)/2 - (r^5)/5 cos^2θ dy dr= (a^7 π)/3 - (3a^5 π)/5 （通过换元法计算得出）
您好，很高兴为您解答哦在计算之前，我们需要知道一些有关上半球面的信息：- 上半球面的方程是 z = a^2 - x^2 - y^2，其中 a 是上半球面的半径。- 上半球面在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交。- 上半球面的法向量是向上的，即在 z > 0 的一侧。现在我们来计算这个积分：∫∫S xy^2dydz + yz^2dzdx + (z-3)x^2dxdy首先，我们需要确定积分区域 S。根据题目中的描述，S 是上半球面 z = a^2 - x^2 - y^2 的下侧。因此，我们可以将积分区域限制在 z 的范围为 0 到 a^2 - x^2 - y^2，而 x 和 y 的范围可以通过在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交得到。这样，我们可以写出积分区域 S 的参数化形式：S: { (x, y, z) = (r cosθ, r sinθ, z) | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ a^2 - r^2 }接下来，我们需要计算积分的每一项。按照积分顺序，第一项是 xy^2dydz：∫∫S xy^2dydz = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r cosθ (r sinθ)^2 dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^3 cosθ sin^2θ (a^2 - r^2) dy dr= 0 （因为被积函数是奇函数）第二项是 yz^2dzdx：∫∫S yz^2dzdx = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r sinθ z^2 dz dx dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^5 sinθ (a^2 - r^2)^2/2 dr dθ= (a^9)/18 （通过换元法计算得出）最后一项是 (z-3)x^2dxdy：∫∫S (z-3)x^2dxdy = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) (a^2 - r^2 - 3) r^3 cos^2θ dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a (a^7)/6 - (3a^5)/10 + (a^3 r^2)/2 - (r^5)/5 cos^2θ dy dr= (a^7 π)/3 - (3a^5 π)/5 （通过换元法计算得出）
咨询记录 · 回答于2023-06-04
设为上半球面 z=(a^2-x^2-y^2) 的下侧,计算 f_y(xy^2dydz+yz^2dzdx+(z-3)x^2d
发不了图片啊老师
亲亲您好，很高兴为您解答哦在计算之前，我们需要知道一些有关上半球面的信息：- 上半球面的方程是 z = a^2 - x^2 - y^2，其中 a 是上半球面的半径。- 上半球面在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交。- 上半球面的法向量是向上的，即在 z > 0 的一侧。现在我们来计算这个积分：∫∫S xy^2dydz + yz^2dzdx + (z-3)x^2dxdy首先，我们需要确定积分区域 S。根据题目中的描述，S 是上半球面 z = a^2 - x^2 - y^2 的下侧。因此，我们可以将积分区域限制在 z 的范围为 0 到 a^2 - x^2 - y^2，而 x 和 y 的范围可以通过在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交得到。这样，我们可以写出积分区域 S 的参数化形式：S: { (x, y, z) = (r cosθ, r sinθ, z) | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ a^2 - r^2 }接下来，我们需要计算积分的每一项。按照积分顺序，第一项是 xy^2dydz：∫∫S xy^2dydz = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r cosθ (r sinθ)^2 dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^3 cosθ sin^2θ (a^2 - r^2) dy dr= 0 （因为被积函数是奇函数）第二项是 yz^2dzdx：∫∫S yz^2dzdx = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r sinθ z^2 dz dx dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^5 sinθ (a^2 - r^2)^2/2 dr dθ= (a^9)/18 （通过换元法计算得出）最后一项是 (z-3)x^2dxdy：∫∫S (z-3)x^2dxdy = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) (a^2 - r^2 - 3) r^3 cos^2θ dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a (a^7)/6 - (3a^5)/10 + (a^3 r^2)/2 - (r^5)/5 cos^2θ dy dr= (a^7 π)/3 - (3a^5 π)/5 （通过换元法计算得出）
您好，很高兴为您解答哦在计算之前，我们需要知道一些有关上半球面的信息：- 上半球面的方程是 z = a^2 - x^2 - y^2，其中 a 是上半球面的半径。- 上半球面在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交。- 上半球面的法向量是向上的，即在 z > 0 的一侧。现在我们来计算这个积分：∫∫S xy^2dydz + yz^2dzdx + (z-3)x^2dxdy首先，我们需要确定积分区域 S。根据题目中的描述，S 是上半球面 z = a^2 - x^2 - y^2 的下侧。因此，我们可以将积分区域限制在 z 的范围为 0 到 a^2 - x^2 - y^2，而 x 和 y 的范围可以通过在平面 z = 0 上与圆盘 x^2 + y^2 ≤ a^2 相交得到。这样，我们可以写出积分区域 S 的参数化形式：S: { (x, y, z) = (r cosθ, r sinθ, z) | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ a^2 - r^2 }接下来，我们需要计算积分的每一项。按照积分顺序，第一项是 xy^2dydz：∫∫S xy^2dydz = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r cosθ (r sinθ)^2 dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^3 cosθ sin^2θ (a^2 - r^2) dy dr= 0 （因为被积函数是奇函数）第二项是 yz^2dzdx：∫∫S yz^2dzdx = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) r sinθ z^2 dz dx dr= ∫0^(2π) ∫0^a r^5 sinθ (a^2 - r^2)^2/2 dr dθ= (a^9)/18 （通过换元法计算得出）最后一项是 (z-3)x^2dxdy：∫∫S (z-3)x^2dxdy = ∫0^(2π) ∫0^a ∫0^(a^2 - r^2) (a^2 - r^2 - 3) r^3 cos^2θ dz dy dr= ∫0^(2π) ∫0^a (a^7)/6 - (3a^5)/10 + (a^3 r^2)/2 - (r^5)/5 cos^2θ dy dr= (a^7 π)/3 - (3a^5 π)/5 （通过换元法计算得出）
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