Question

如果P(XY=0)=1,又给出了X,Y的边缘分布,怎样求X,Y的联合分布

Answer 1

问：如果P(XY=0)=1,又给出了X,Y的边缘分布,怎样求X,Y的联合分布

答：你好，根据题目中的条件P(XY=0)=1，可以得出X和Y不可能同时为非零值，即当X或Y为零时，另一个变量必须为零。因此，我们可以将XY=0的情况分为两种情况来考虑：1. X=0，Y不等于0；2. Y=0，X不等于0。对于第一种情况，由边缘分布可以得到P(X=0)=p_1，而P(Y≠0|X=0)=1，因此有P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=p_1(1-P(Y≠0|X=0))=0；同理可得第二种情况下P(X=0,Y=0)=0。那么现在只需考虑X和Y同时为非零值的情况。设a=P(X≠0,Y≠0)，b=P(X≠0,Y=0)，c=P(X=0,Y≠0)，则有a+b+c=1。由于已知边缘分布，可以求出b与c的值。例如，P(X≠0,Y=0)=P(X≠0)-P(XY≠0)=P(X≠0)-P(X≠0,Y≠0)=b，P(X=0,Y≠0)=P(Y≠0)-P(XY≠0)=P(Y≠0)-P(X≠0,Y≠0)=c。因此，a=1-b-c。再根据条件P(XY=0)=1，可以得到P(XY≠0)=0，即P(X≠0,Y≠0)=0，进而可以得到a=P(X≠0,Y≠0)=0。

答：综上所述，X和Y的联合分布如下：P(X=0,Y=0) = 0P(X=0,Y≠0) = P(Y≠0)-P(XY≠0)P(X≠0,Y=0) = P(X≠0)-P(XY≠0)P(X≠0,Y≠0) = 0

答：需要注意的是，这里的求解过程前提是X和Y是离散随机变量，并且X、Y取值的范围是非负整数（因为涉及到XY=0）。如果X或Y存在连续取值，需要将“等于0”改为“小于等于0”，并进行相应的积分运算。