Question

|x(x+2)|≤x

Answer 1

问：|x(x+2)|≤x

答：您好！根据给出的不等式|x(x+2)|≤x，我们可以进行如下的分析和求解。首先，我们注yi到不等式左边的绝对值表达式。由于绝对值的定义，我们知道对于任意实数a，都有|a|≥0。于是，对于不等式的左边表达式|x(x+2)|，它的取值范围必然不小于0。接着，我们观察不等式右边的x。由于不等式的性质，我们知道右边的x必须大于等于0，否则不等式不成立。综合以上两个观察，我们可以得出结论：对于给定的不等式|x(x+2)|≤x，该不等式只在满足以下两个条件的x取值范围内成立：1. x ≥ 02. |x(x+2)| ≤ x现在我们来解决第二个条件。为了简化问题，我们可以将不等式拆解成两个部分进行讨论，即：1. x(x+2) ≤ x (当x ≥ 0时)2. -x(x+2) ≤ x (当x < 0时)对于第一个部分，我们可以将不等式进行展开和整理，得到：x^2 + 2x ≤ x移项并整理后，x^2 + x ≤ 0再进一步因式分解，得到：x(x + 1) ≤ 0这个不等式成立的条件是：x ≤ 0 或 x ≥ -1。对于第二个部分，我们同样将不等式进行展开和整理，得到：-x^2 - 2x ≤ x移项并整理后，-x^2 - 3x ≤ 0再进一步因式分解，得到：x(x + 3) ≥ 0这个不等式成立的条件是：x ≤ -3 或 x ≥ 0。综合两个部分的结果，我们可以得出最终的解集为：x ≤ -3 或 x ≥ -1扩展补充:在求解|x(x+2)|≤x的过程中，我们首先观察到绝对值表达式的取值范围不小于0。这是因为绝对值定义为非负数，即对于任意实数a，|a|≥0。然后我们考虑了不等式右边的x必须大于等于0的限制，否则不等式不成立。接着我们将不等式分成两个部分进行讨论，根据不同的x取值范围分别求解。对于x ≥ 0时的情况，我们通过展开和整理得到了x(x + 1) ≤ 0的解集为x ≤ 0 或 x ≥ -1。对于x < 0时的情况，我们同样通过展开和整理得到了x(x + 3) ≥ 0的解集为x ≤ -3 或 x ≥ 0。最后，我们综合两个部分的解集得到最终的解集为x ≤ -3 或 x ≥ -1。