Question

高一数学，~~谢谢啦！！！

f(x)=lg[(1+2^x+3^x+……+（n-1)^x+n^x*a]/n,其中a是实数,n是任意给定的正自然数且n≥2，如果f(x)当x∈(-∞,1]有意义，求a的取值范围．

需要过程啊啊，谢谢了！！

Answer 1

f(x)当x∈(-∞,1]时有意义
即当x∈(-∞,1]时
(1+2^x+3^x+...+a*n^x)/n>0恒成立
1+2^x+3^x+...+a*n^x>0
1+2^x+3^x+...+(n-1)^x>-a*n^x
-a<(1/n)^x+(2/n)^x+...+[(n-1)/n]^x恒成立
即-a小于(1/n)^x+(2/n)^x+...+[(n-1)/n]^x的最小值

令g(x)=(1/n)^x+(2/n)^x+...+[(n-1)/n]^x
由0<1/n<2/n<...<(n-1)/n<1
可知(1/n)^x,(2/n)^x,...,[(n-1)/n]^x在x∈(-∞,1]上单调递减
g(x)在x∈(-∞,1]上单调递减
最小值g(1)=1/n+2/n+...+(n-1)/n
=(1+2+..+n-1)/n
=[n(n-1)/2]/n
=(n-1)/2

即-a<(n-1)/2 a>-(n-1)/2