Question

二重积分I=∫∫|x+y|dxdy D={x²+y²≤1}

Answer 1

问：二重积分I=∫∫|x+y|dxdy D={x²+y²≤1}

答：1. 此题利用对称法进行求解，结果是4/32. 分析：由于本题积分区域关于x轴和y轴均对称，所以原积分可以写成在第一象限内4倍的形式，记∫∫[D]f(x,y)dxdy=4∫∫[D1]f(x,y)dxdy其中D1={(x,y)|x+y≦1,x≥0,y≥0}，然后在第一象限内利用累次积分对原函数积分即可。3. 具体计算过程如下：∫∫[D]f(x,y)dxdy=4∫∫[D1]f(x,y)dxdy=4∫∫[D1](x+y) dxdy=4∫[0→1]dx∫[0→1-x](x+y)dy=4∫[0→1][x(1-x)+1/2(1-x)²]dx=4∫[0→1](-1/2x²+1/2)dx=4*(-1/6x³+1/2x)|[0→1]=4/34. 说明：当出现绝对值时，应首先考虑去掉绝对值；积分区域对称时，应将原积分转化成易于计算的区间内的倍数关系。