Question

设+f+(x)+=+x2+++Zx0f+(t)+dt。(1)求+f+(0)和+f+(x)满足的一阶线性微分方程。

Answer 1

问：设+f+(x)+=+x2+++Zx0f+(t)+dt。(1)求+f+(0)和+f+(x)满足的一阶线性微分方程。

答：你好，同学，很高兴回答你的问题，设+f+(x)+=+x2+++Zx0f+(t)+dt。(1)求+f+(0)和+f+(x)满足的一阶线性微分方程解:∫[0,x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x),设F'(t) = f(t)x=0时,左边=0,右边=1-f(0),故f(0) = 1左边 = -∫[0,x](t+1)d[f(x-t)]= ∫[0,x]f(x-t)dt - (t+1)f(x-t)|(0,x)= ∫[0,x]f(x-t)dt + f(x) - (x+1)即∫[0,x]f(x-t)dt + f(x) - (x+1) = x^2 + e^x - f(x)∫[0,x]f(x-t)dt = x^2 + e^x - 2f(x) + (x+1)左边对x求导得[∫[0,x+Δx]f(x+Δx-t)dt - ∫[0,x]f(x-t)dt]/Δx= ∫[0,x][f(x+Δx-t)-f(x-t)]dt/Δx + ∫[x,x+Δx]f(x+Δx-t)dt/Δx

答：左边对x求导得[∫[0,x+Δx]f(x+Δx-t)dt - ∫[0,x]f(x-t)dt]/Δx= ∫[0,x][f(x+Δx-t)-f(x-t)]dt/Δx + ∫[x,x+Δx]f(x+Δx-t)dt/Δx= ∫[0,x]f'(x-t)dt + [F(t)/Δx]|(x,x+Δx)= -f(x-t)|(0,x) + f(x)= 2f(x) - 1右边对x求导得2x + e^x - 2f'(x) + 12f(x) - 1 = 2x + e^x - 2f'(x) + 1整理得f'(x) + f(x) = x + (e^x)/2 + 1解这个微分方程得f(x) = x + (e^x)/4 + Ce^(-x)