Question

16.已知平面向量a,b的夹角为 /3 . |a-b|=4, 则 (a-b)(3a+b) 的最大值等于_

Answer 1

问：16.已知平面向量a,b的夹角为 /3 . |a-b|=4, 则 (a-b)(3a+b) 的最大值等于_

答：首先，根据余弦定理，有：$$|a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos\frac{\pi}{3}=|a-b|^2=16$$化简得：$$|a|^2+|b|^2-|a||b|=16$$又因为 $(a-b)(3a+b)=3|a|^2-2(a\cdot b)+|b|^2$，所以要求 $(a-b)(3a+b)$ 的最大值，就是要求 $-2(a\cdot b)$ 的最小值。由于 $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，所以 $a\cdot b=\frac{1}{2}(|a|^2+|b|^2-16)$。代入上式得：$$-2(a\cdot b)=-(|a|^2+|b|^2-16)=-(|b|-|a|-4)(|a|-|b|-4)$$由于 $||a|-|b||\leq |a-b|=4$，所以 $-4\leq |a|-|b|\leq 4$。因此，$(-(|b|-|a|-4))(|a|-|b|-4)$ 的最小值为 $(-8)(0)=0$，当且仅当 $||a|-|b||=4$ 时取到。因此，$(a-b)(3 a+b)$ 的最大值为 $\boxed{12}$。