Question

应用确定积分计算曲线y+=+2x ^3包围的区域面积+和x=1,y=0。

Answer 1

问：应用确定积分计算曲线y+=+2x ^3包围的区域面积+和x=1,y=0。

答：要计算曲线 $y=2x^3$ 所包围的区域面积，可以使用定积分公式:$$\int_a^b f(x) dx$$其中，$f(x)$ 是被积函数，$a$ 和 $b$ 是积分区间。在这个问题中，我们需要找到积分区间和被积函数。

答：首先，我们需要找到曲线与 $x$ 轴的交点。当 $y=0$ 时，有$$0=2x^3$$解得 $x=0$，因此曲线与 $x$ 轴交于原点。接下来，我们需要找到曲线的最右端点，也就是 $x$ 坐标最大的点。由于曲线是一个单调递增的函数，因此它的最右端点就是 $x=1$。因此，我们需要在区间 $[0,1]$ 上计算积分。

答：现在，我们需要确定被积函数。由于曲线是 $y=2x^3$，因此被积函数是 $f(x)=2x^3$。因此，我们可以得到积分式：$$\int_0^1 2x^3 dx$$现在，我们可以通过求解这个积分来计算所需的面积。使用幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，我们可以得到：$$\int_0^1 2x^3 dx = \left[\frac{2x^4}{4}\right]_0^1 = \left[x^4\right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1$$因此，曲线 $y=2x^3$ 所包围的区域面积为 $1$。

问：可以总结一下吗

答：好的

答：当计算曲线包围的面积时，我们可以使用定积分的公式来解决问题。首先需要找到曲线与 $x$ 轴的交点和最右端点，以确定积分区间。然后，需要找到被积函数，并使用积分公式求解。在本例中，我们使用 $\int_0^1 2x^3 dx$ 来计算曲线 $y=2x^3$ 所包围的区域面积。最终计算结果为 $1$

问：我要最后的答案汇总

答：如何计算曲线 $y=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的弧长？ 答案：$L=\int_0^1\sqrt{1+(2x)^2}dx=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。如何计算函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $[1,2]$ 上的平均值？ 答案：$\frac{1}{2-1}\int_1^2\frac{1}{x}dx=\ln 2$。如何计算曲线 $y=e^x$ 和直线 $y=0$ 所围成的区域的面积？ 答案：$A=\int_0^1 e^x dx = e-1$。如何计算曲线 $y=2x^3$ 包围的区域面积和 $x=1, y=0$？ 答案：曲线 $y=2x^3$ 包围的区域面积为 $1$。希望这些答案对您有所帮助