Question

高数题提问

Answer 1

问：高数题提问

答：首先，平面 X+2z=0 可以表示为 $X + 0Y + 2Z = 0$，因此该平面的法向量为 $(1,0,2)$。其次，平面 $x+y+z=0$ 可以表示为 $X + Y + Z = 0$，因此该平面的法向量为 $(1,1,1)$。由于过点 $M(1,1,1)$ 且垂直于平面 X+2z=0 和 x+y+z=0 的面，必须同时垂直于这两个平面的法向量，因此该面的法向量为这两个法向量的叉积：$$\begin{aligned}\mathbf{n} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\end{aligned}$$因此，过点 $M(1,1,1)$ 且垂直于平面 X+2z=0 和 x+y+z=0 的面方程可以表示为：$$-2X + Y + Z + D = 0,$$其中 $D$ 是一个常数。由于该面过点 $M(1,1,1)$，因此有：$$-2(1) + (1) + (1) + D = 0,$$解得 $D=0$。因此，所求的面方程为：$$-2X + Y + Z = 0.$$最后，将上述方程化简即可得到斜截式方程：$$Y = 2X, \quad Z = -X.$$因此，所求的过点 $M(1,1,1)$ 且垂直于平面 X+2z=0 和 x+y+z=0 的面方程为 $-2X + Y + Z = 0$，或者斜截式方程 $Y = 2X, Z = -X$。

问：我 我看不懂 写出来吗

答：首先，平面 X+2z=0 和 x+y+x-o 的面方程可以表示为：X + 2Z = 0 ---> X = -2Z x + y + z - o = 0 ---> x + y + z = o 现在考虑如何求过点 M(1,1,1) 且垂直于这两个平面的平面方程。我们知道，平面的法向量垂直于该平面上任意两个不平行的向量，因此我们需要找到两个向量，一个位于 X+2Z=0 平面上，一个位于 x+y+z=o 平面上，且两个向量不平行。我们可以选择以下两个向量：v1 = ，该向量在 X+2Z=0 平面上，且垂直于该平面。v2 = ，该向量在 x+y+z=o 平面上，且与 v1 不平行。现在求出 v1 和 v2 的叉积作为平面的法向量：n = v1 × v2 = 由于过点 M(1,1,1)，因此平面方程为：X - x1 + Y - y1 + Z - z1 = 0代入 M 的坐标和法向量 n，得到平面方程：X - 1 - 3Y + 2Z = 0化简得到：X - 3Y + 2Z = 1因此，过点 M(1,1,1) 且垂直于 X+2Z=0 和 x+y+z=o 的平面方程为 X - 3Y + 2Z = 1。

答：现在看到懂吗？同学

问：好的 谢谢