Question

设A为n阶方矩阵,行列式a=2,若A有特征值a,则A的伴随矩阵必有特征值为

Answer 1

问：设A为n阶方矩阵,行列式a=2,若A有特征值a,则A的伴随矩阵必有特征值为

答：您好，亲，根据矩阵论的知识，若 A 为 n 阶方矩阵，其行列式为 a，则 A 的伴随矩阵 B 可以表示为： B = (A^(-1)) * a^(n-1) 其中，A^(-1) 表示 A 的逆矩阵。因此，A 的特征值为 a 的充要条件是 A 的伴随矩阵 B 满足以下等式： B * v = λ * v 其中，v 是非零向量，λ 是 B 的特征值。将 B 的表达式代入上式，得： (A^(-1)) * a^(n-1) * v = λ * v 两边同时左乘 A，得： A * (A^(-1)) * a^(n-1) * v = λ * A * v 化简得： a^(n-1) * v = λ * det(A) * v 由于 A 的行列式 det(A) = 2，代入得： a^(n-1) * v = 2λ * v 因此，B 的特征值必须为 a^(n-1) * 2 的形式，即 2, 2a, 2a^2, ..., 2a^(n-1)。