Question

10设为球面 x^2+y^2+z^2=1 ,则 _(/2)^(+)(x^2+y^2)dS=(x^2+y^2)=(1+)

Answer 1

问：10设为球面 x^2+y^2+z^2=1 ,则 _(/2)^(+)(x^2+y^2)dS=(x^2+y^2)=(1+)

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦在球面上，考虑面积元素dS，该面积元素在球面上的每个点处的法向量与球心连线垂直。因此，对于球面上的任意点(x, y, z)，我们可以使用极坐标变换来表示该点，其中(r, θ, φ)是球面上的极坐标，r为球面上的半径，θ为极角，φ为方位角。在球面上，可以将面积元素dS表示为dS = r^2 sinθ dθ dφ。现在，我们来计算给定的表达式∫(π/2)^(+)(x^2+y^2)dS。根据题目的设定，我们可以将该积分转化为球面上的面积积分，其中x^2 + y^2可以表示为r^2 sin^2θ。因此，我们可以重写表达式为∫(π/2)^(+)(r^2 sin^2θ)(r^2 sinθ dθ dφ)。现在，我们需要确定积分的范围。根据题目的设定，球面方程为x^2 + y^2 + z^2 = 1，因此球面的半径r为1。而θ的范围为(0, π/2)，φ的范围为(0, 2π)。现在，我们可以计算该积分：∫(π/2)^(+)(r^2 sin^2θ)(r^2 sinθ dθ dφ)= ∫[0, 2π]∫0, π/2sinθ dθ dφ)= ∫[0, 2π]∫[0, π/2](sin^3θ dθ dφ)= ∫[0, 2π](2/3 dφ)= (2/3) [0, 2π]= 4π/3.因此，所给的积分∫(π/2)^(+)(x^2+y^2)dS的结果为4π/3。同时，注意到(x^2 + y^2)在球面上等于1+z^2，因为根据球面方程x^2 + y^2 + z^2 = 1，我们有x^2 + y^2 = 1 - z^2。因此，(x^2 + y^2) = (1 + z^2)。