Question

求曲线y=x²+2x-3在(2,1)处的切线方程和法线方程

Answer 1

问：求曲线y=x²+2x-3在(2,1)处的切线方程和法线方程

答：亲，您好，关于曲线y=x²+2x-3在(2,1)处的切线方程和法线方程如下：首先求出曲线在点(2,1)处的导数：y' = 2x + 2将x=2代入得到：y' = 2(2) + 2 = 6因此曲线在点(2,1)处的切线斜率为6。接下来可以使用点斜式求出切线方程：y - y1 = k(x - x1)其中，(x1, y1)为切点坐标，k为切线斜率。将(x1, y1) = (2, 1)和k=6代入得到：y - 1 = 6(x - 2)化简得到：y = 6x - 11因此曲线在点(2,1)处的切线方程为y = 6x - 11。接下来求出曲线在点(2,1)处的法线斜率：k = -1/6 （因为切线斜率和法线斜率的乘积为-1）因此曲线在点(2,1)处的法线斜率为-1/6。同样可以使用点斜式求出法线方程：y - y1 = k'(x - x1)其中，(x1, y1)为切点坐标，k'为法线斜率。将(x1, y1) = (2, 1)和k'=-1/6代入得到：y - 1 = (-1/6)(x - 2)化简得到：y = (-1/6)x + 5/3

答：因此曲线在点(2,1)处的法线方程为y = (-1/6)x + 5/3。（接上）

答：亲，曲线的切线和法线是解析几何中的重要概念，它们可以帮助我们研究曲线的性质和特征。在求解切线和法线方程时，需要用到导数的概念，因此需要对导数有一定的了解。导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点处的变化率。对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。导数的几何意义是函数在该点处的切线斜率。

问：若y=x³cos2x，求微分dy

答：亲，若y=x³cos2x，则微分dy=3x²cos2x-2x³sin2x。首先，我们可以使用乘积法则将y=x³cos2x拆分为y=u(x)v(x)，其中u(x)=x³，v(x)=cos2x。然后，根据乘积法则求导，得到dy/dx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，其中u'(x)=3x²，v'(x)=-2sin2x。将u'(x)和v'(x)代入公式，得到dy/dx=3x²cos2x-2x³sin2x。因此，y=x³cos2x的微分为dy/dx=3x²cos2x-2x³sin2x。