Question

行列式为0的矩阵不可逆

Answer 1

如果一个矩阵的行列式为零，那么这个矩阵是不可逆的。不可逆意味着不存在这个矩阵的逆矩阵，也就无法通过矩阵运算找到原矩阵的逆。
要理解为什么行列式为零的矩阵不可逆，我们需要回顾矩阵的逆的概念。矩阵A的逆记作A^-1，满足下列性质：A*A^-1=A^-1*A=I，其中I是单位矩阵。这意味着矩阵A与其逆矩阵相乘得到的结果是一个单位矩阵。
现在考虑一个行列式为零的矩阵A，即|A|=0。行列式的值表示了矩阵A的线性相关性，如果行列式为零，说明矩阵的行（或列）之间存在一定程度的线性相关性，即矩阵中的某一行（或列）可以由其他行（或列）线性表出。
假设A是一个n阶矩阵，即由n行n列组成。如果矩阵A是可逆的，那么它的行（或列）线性无关，不存在一组行（或列）可以用其他行（或列）线性组合得到。然而，行列式为零说明行（或列）线性相关，至少存在一组行（或列）可以由其他行（或列）线性组合得到。这违背了矩阵可逆的定义。
因此，行列式为零的矩阵是不可逆的。对于这样的矩阵，无法找到一个逆矩阵与其相乘得到单位矩阵，从而无法通过矩阵运算求解线性方程组或进行其他相关计算。