Question

述函数列的一致收敛、几乎处处收敛以及依测度收敛的定义，并对比三者之间的区别．

Answer 1

问：述函数列的一致收敛、几乎处处收敛以及依测度收敛的定义，并对比三者之间的区别．

答：亲亲您好，很高兴为您解答，在数学分析中，我们常常研究函数列的收敛性质。下面是关于函数列收敛的三种不同概念的定义及其区别：一致收敛：设有一列函数 {f_n(x)}，如果对于任意给定的 ε > 0，存在某个正整数 N，使得当 n > N 时，对于所有的 x ∈ D，都有 |f_n(x) - f(x)| ε 成立，那么我们称函数列 {f_n(x)} 在定义域 D 上一致收敛于函数 f(x)。几乎处处收敛：设有一列函数 {f_n(x)}，如果对于几乎所有的 x ∈ D，即除去一个测度为零的集合外，函数列 {f_n(x)} 收敛于某个函数 f(x)，那么我们称函数列 {f_n(x)} 几乎处处收敛于函数 f(x)。依测度收敛：设有一列函数 {f_n(x)}，如果对于任意给定的 ε > 0，存在某个正整数 N，使得当 n > N 时，测度为零的集合 E_n 上 |f_n(x) - f(x)| < ε 成立，那么我们称函数列 {f_n(x)} 在定义域 D 上依测度收敛于函数 f(x)。区别：一致收敛要求函数列在整个定义域上都满足收敛条件，而几乎处处收敛和依测度收敛只要求在除去一个测度为零的集合上满足收敛条件。几乎处处收敛是对函数列在几乎所有点上的收敛性质进行描述，而依测度收敛是对函数列在测度为零的集合上的收敛性质进行描述。一致收敛是最强的收敛性质，几乎处处收敛和依测度收敛是相对较弱的收敛性质。

问：下列命题正确的有几个1.可测集对于可数并封闭2.可测集对于可数交封闭3.可测集对于取余集封闭4.可测集对于做差封闭

答：亲，下列命题正确的有2个：可测集对于可数并封闭。可测集对于取余集封闭。解析：可测集对于可数并封闭：设 {E_n} 是一列可测集，那么它们的并集 E = ∪{E_n} 也是可测集。这是因为可测集在取可数并运算下是封闭的。可测集对于可数交封闭：这个命题是错误的。对于一列可测集的可数交，不一定是可测集。例如，考虑实数集上的单位区间序列 {E_n}，其中 E_n = [1/n, 1]，它们都是可测集。但是它们的可数交集为空集，不是可测集。可测集对于取余集封闭：设 E 是可测集，那么它的余集 E^c 也是可测集。这是因为可测集在取余集运算下是封闭的。可测集对于做差封闭：这个命题是错误的。对于可测集 E 和 F，它们的差集 E - F 不一定是可测集。因此可测集在做差运算下一般不是封闭的。

问：设E为Rn中的点集，下列说法错误的是（ ）A .E的内点一定属于EB. E的聚点不一定属于EC. E的内点不一定为E的聚点D. E的界点不是聚点便是孤立点

答：亲，下列说法错误的是 D. E的界点不是聚点便是孤立点。解析：A. E的内点一定属于E 是正确的。内点是指E中存在一个邻域，该邻域内的点都属于E，因此内点一定属于E。B. E的聚点不一定属于E 是正确的。聚点是指E中存在一个序列，该序列的极限点在E中，但是不要求这个聚点本身属于E。C. E的内点不一定为E的聚点 是正确的。内点是指存在一个邻域，该邻域内的点都属于E，但是不要求这个邻域内的点存在序列极限点。D. E的界点不是聚点便是孤立点 是错误的。界点是指E和E的补集之间的点，界点既可以是聚点也可以是孤立点。有些界点既不是聚点也不是孤立点，例如边界上的点。因此，错误的说法是 D. E的界点不是聚点便是孤立点。

答：亲，方便的话可以长按三秒老师对话框下面的大拇指按钮哦[玫瑰]

问：简述里斯定理并说明它和法图定理本质的区别

答：亲，里斯定理（Riesz's theorem）是泛函分析中的一个重要定理，它描述了赋范空间中的闭线性子空间与其对偶空间的关系。具体而言，里斯定理指出：设X是一个赋范空间，Y是X的闭线性子空间，那么Y的对偶空间Y与X的限制Y中的元素在Y上的限制是同构的。换句话说，里斯定理说明了闭线性子空间的对偶空间与原空间的对偶空间之间存在一种一一对应的关系。法图定理（Banach-Alaoglu theorem）是泛函分析中的另一个重要定理，它描述了赋范空间的单位球面在其对偶空间中的弱拓扑下的紧性。具体而言，法图定理指出：设X是一个赋范空间，X是其对偶空间，那么X中单位球面在弱拓扑下是紧的。法图定理表明了赋范空间的对偶空间中的单位球面在弱拓扑下的紧性，而里斯定理则关注了闭线性子空间与其对偶空间的关系。总的来说，里斯定理和法图定理都是研究赋范空间中的对偶空间的重要定理，但它们的研究对象和结果有所不同。里斯定理描述了闭线性子空间与对偶空间的关系，而法图定理描述了对偶空间中单位球面在弱*拓扑下的紧性。

问：设E⊂Rn，如果E＝E｀，则E为（ ）A 完备集 B自密集C 闭集 D 导集

答：亲，如果E = E'，则E是一个闭集。解析：A. 完备集：完备集是指在该集合内部的Cauchy序列都有极限点。题目并没有提到E是完备集，所以选项A不正确。B. 自密集：自密集是指该集合的闭包是其自身。题目并没有提到E是自密集，所以选项B不正确。C. 闭集：闭集是指其包含了所有极限点。如果E = E'，即E包含了所有的极限点，那么E是闭集。所以选项C正确D. 导集：导集是指该集合的所有极限点构成的集合。题目并没有提到E是导集，所以选项D不正确。综上所述，选项C 正确，E为闭集。