Question

@繷123: 已知函数G：ax²+bx,且点X(p,q)、点Y（r，s）均在函数G的图像上，且p=r+a，q=s+2r-3a.已知a=1.
（1）求函数G的解析式.
（2）现已知在函数G上有一点A(3，m),过A点的直线l₁与G交于A、B两点,连接AB，直线l₂过点A且与G相切.在线段AB上有一动点P（与A、B不重合），过P点作y轴平行线交G与点C，交直线l₂与D，连接BC,过点D作DE//BC交l₁与点E，且DE与G相切，求P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围.

Answer 1

问：已知函数$G: ax^2 + bx$，且点$X(p, q)$、点$Y(r, s)$均在函数$G$的图像上，且$p = r + a, q = s + 2r - 3a$。已知$a = 1$。 （1）求函数$G$的解析式。 （2）现已知在函数$G$上有一点$A(3, m)$，过A点的直线$l_1$与$G$交于A、B两点，连接AB，直线$l_2$过点A且与$G$相切。在线段AB上有一动点P（与A、B不重合），过P点作y轴平行线交$G$与点C，交直线$l_2$与D，连接BC，过点D作DE//BC交$l_1$与点E，且DE与$G$相切，求P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围。 【解答】 （1）由题意得： $\begin{cases} p = r + 1 \\ q = s + 2r - 3 \end{cases}$ 将这两个方程代入函数$G: ax^2 + bx$中，得到： $(r + 1)^2 + b(r + 1) = (s + 2r - 3)^2 + b(s + 2r - 3)$ 化简得： $(a - b)r^2 + (2a + b)r - (a^2 + b) = (a - b)s^2 + (4a - b)s + (a^2 - 4a + b)$ 由于这个等式对任意$r, s$都成立，比较系数得： $\begin{cases} a - b = a - b \\ 2a + b = 4a - b \\ - (a^2 + b) = a^2 - 4a + b \end{cases}$ 解得： $\begin{cases} b = 0 \\ a = 1 \\ \end{cases}$ 所以函数$G$的解析式为：$G(x) = x^2$. （2）由题意得： $\begin{cases} m = 3^2 \\ \frac{y - m}{x - 3} \cdot 2x = -1 \quad (y \neq m) \\ \end{cases}$ 解得： $\begin{cases} m = 9 \\ y = \frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{5}{3} \quad (x \neq 6) \\ \end{cases}$ 所以P点的轨迹方程为：$\frac{y}{x^2 - 6x + 30} = \frac{6y - x}{30}$。

答：你好 (1) 函数G的解析式为： G(x) = x² + bx (2) 因为点X(p,q)在函数G的图像上，所以有： q = ap² + bp 将a=1代入，得到： q = p² + bp 同样地，点Y(r,s)在函数G的图像上，所以有： s = ar² + br 将a=1代入，得到： s = r² + br 根据已知条件p=r+a，q=s+2r-3a，代入a=1，得到： p = r+1 q = s+2r-3 将p = r+1代入q的表达式中，得到： q = (r+1)² + b(r+1) 展开并整理，得到： q = r² + 2r + 1 + br + b 将q = r² + br和q = r² + 2r + 1 + br + b联立，消去r²和br，得到： r + 2 = 0 解得r = -2，再代入p = r+1，得到p = -1 所以点X(-1, -2)和点Y(-2, -4)均在函数G的图像上。

答：亲爱的小伙伴们，大家好！ 首先，我们通过一系列的推理和解析，得出了函数G的解析式为：G(x) = x^2 + bx。 同时，我们还发现点X(-1, -2)和点Y(-2, -4)在函数G的图像上，这为我们后续的问题解答提供了重要的基础。 接下来，我们来探讨第二个问题：在线段AB上有一个动点P（P不与A、B重合），过P点作y轴平行线与G和直线l^2分别交于点C和D。然后，我们连接BC，并作DE//BC与直线l^1交于点E。在这个情境中，DE与G相切，我们的任务是求出P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围。 首先，我们需要确定点A(3, m)，并找出过A点的直线l^1与G的交点A、B。由于点A(3, m)位于函数G上，我们可以得出m = G(3) = 3^2 + 3b = 9 + 3b。 假设B点的横坐标为x，那么根据直线l^1的方程，我们可以得到直线l^1的表达式为：y = (9+3b)x/(x-3)。 然后，我们考虑直线l^2过点A(3, m)并与G相切的情况。由于直线l^2与G在交点处的斜率相等，我们可以通过设置G'(x) = 2x + b等于斜率k = (m-0)/(3-x)来求解。整理后得到方程：2x^2 - (m+2)x + 3(m-0) = 0。由于直线l^2与G相切，该方程的判别式D = 0。解得：(m+2)^2 - 4*2*3(m-0) = 0。化简得到：m^2 + 4m + 4 - 24(m-0) = 0。进一步化简后得到：23m - 20 = 0。解得：m = 20/23。 因此，P点的轨迹方程为：y = (9+3b)x/(x-3)，其中m = 20/23。P点纵坐标的取值范围为：m = 20/23。 以上就是我们对于第二个问题的完整解答，希望对大家有所帮助！