Question

微分方程的通解公式

Answer 1

微分方程对于我们的要求就只是要求会计算一阶和二阶微分方程就好，而且都是很基础的。但是由于二阶微分方程我们只学了二阶常系数微分方程，但是有时会出现不是常系数的情况，所以这里我打算稍微总结一下。
一般考试中出现的微分方程如果是一阶方程，那么不用想它一定是用一阶微分方程的计算方法进行计算，但是当出现二阶微分方程时就不一定是用二阶微分方程的方法计算了，毕竟我们能计算的只有一种情况就是二阶常系数微分方程，当不能用二阶解时，就代表一定是用一阶解，所以这时必须要换元，而且换元的结果必须能降阶，这样子看来其实相对考试而言，一阶方程的重要性大一点，因为出题灵活度高一点。
一阶微分方程
一阶微分方程的解题方法按需不需要换不换元可以分为两种：
不需要换元的：变量可分离型和一阶线性微分方程需要换元的：可化为变量可分离型和伯努利方程型下面说下做题时应该按什么方法来解首先观察微分方程，确定是一阶微分方程后，看看导数的系数是不是1，如果不是一定要先化为1，这里要注意一点就是，不需要对取值范围进行讨论，因为我们的目的是计算通解不是全解，通解只是表示了大部分的解，所以不需要讨论，该除就除。这种系数不是1的情况一般是需要换元的，而且基本就是
在确定导数系数是1之后，我们要观察是否有仅包含x不包含y的项存在，若存在这一项一定是用一阶线性微分方程解，否则就是变量可分离型
当y的指数不是1时才考虑使用伯努利方程
还有一种换元法是令
，这一种就是将全部变量进行归一。
需要强调一点的是不要总把x当成自变量y当成因变量来看待微分方程，要怎么算容易，怎么来。还有一点要注意的是要想微分方程可以利用上面方法解的前提是方程中不能有常数存在，所以一但出现常数做的第一件事就是，想办法把常数给并进变量中，常采用的技巧是令,代回原方程得到,直接令解出的值就好，然后用只有的微分方程进行求解即可。所以我们在做题时一旦看到常数马上这样做准不会错。
二阶微分方程
首先简单理解下二阶微分方程的解决思路，首先是结合的任意阶导数都是其自身，所以利用此性质可以将方程化为简单的一元二次方程，之后利用齐次方程解的特性可以得到方程的通解，这里还要知道欧拉方程
,这样可以很容易就记住了通解的形式，也可由通解反推出方程的形式这个比较容易就是看看所有包含y的项的系数是不是常数，如果不是常数，一定是采用换元，降阶当成一阶微分方程进行求解。反过来就变成了求不定积分的题，但是这里要注意任意项的取值对于积分的影响，所以需要对C的取值进行讨论，计算出不同取值对应的原函数。但是如果有给初始条件，则要及时代入，然后再求定积分。然后区分是齐次还是非齐次也是很容易，就是如果是非齐次那么一定存在一项仅包含x的项。二阶常系数非齐次微分方程的特解在设出来后，回代原方程求参数时，可以利用下面这个方程来计算，可以大大降低计算量
这个方程是已经把自然数项删除后化简得到的方程，所以我们需要做的就是求导
即可，计算量可以降低很少，方程中各个字母的含义和课本一致，自行查看。所以说二阶在考研中其实是最容易的，那么自然地位也不会特别高。