Question

设函数在点（x0，y0）处连续，则函数f（x,y0）在点x0连续，函数f（x0,y）在y0

Answer 1

问：设函数在点（x0，y0）处连续，则函数f（x,y0）在点x0连续，函数f（x0,y）在y0

答：你所说的“一元函数f(x0,y)在y0处连续,f(x,y0)在x0处连续”可以简单的表述为“二元函数f(x,y)在(x0,y0)处分别按单变量连续”。如果f(x,y)在(x0,y0)点连续，则一定按单变量连续，但是按单变量连续的二元函数却不一定连续。例如函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2) (x,y)≠(0,0)0 (x,y)=(0,0)它在原点按单变量连续，但函数本身在原点不连续，你可以自己证明一下。事实上，增加某些条件后才能使按单变量连续的二元函数连续，最常见增加的条件是，函数关于x（或y）连续且关于y（或x）一致。