Question

已知方程y"+ P(x)y'+Q(x)y= 0的一个特解为y1,则另一个与它线性无关的特解为多少

Answer 1

问：已知方程y"+ P(x)y'+Q(x)y= 0的一个特解为y1,则另一个与它线性无关的特解为多少

答：将 $y_{2}(x)$，$y_{2}'(x)$，$y_{2}''(x)$ 代入方程，得到： $y_{1}(x)C'(x)+(2y_{1}'(x)+p(x)y_{1}(x))C'(x)=0$ 这是一个可降阶的二阶微分方程，不显含 y。 令 $u=c'(x)$，则有： $\frac{du}{u}=-\frac{2y_{1}'+p(x)y_{1}}{y_{1}}dx$ 积分得： $\ln u=-2\ln y_{1}-\int p(x) dx$ 所以： $c'(x)=u=\frac{1}{y_{1}^2} \times e^{-\int p(x) dx}$ 所以： $c(x)=\int \frac{1}{y_{1}^2} \times e^{-\int p(x) dx} dx$