设三阶实对称矩阵a的秩为2,λ1=λ2=6
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因为λ1=λ2=6是A的二重特征值,所以A的属于6的线笥无关的特征向量有两个。由题知:α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T为A的属于6的线笥无关的特征向量。又因为A的秩为2,所以另一特征值:λ3=0。设其对应的特征向量为α=(x1,x2,x3)T,并且A为实对称矩阵,所以有:αT1α=0,αT2α=0,即:{x1+x2=0 2x1+x2+x3=0},解得基础解系为:α=(−1,1,1)T。于是,属于λ3=0的特征向量为:kα=k(−1,1,1)T (k为任意部位0的常数)。
咨询记录 · 回答于2024-01-08
设三阶实对称矩阵a的秩为2,λ1=λ2=6
你好!
对于您的问题,以下是详细的解答:
因为λ1=λ2=6是A的二重特征值,所以A的属于6的线性无关的特征向量有两个。由题目已知,α1=(1,1,0)T和α2=(2,1,1)T是A的属于6的线性无关的特征向量。
又因为A的秩为2,所以另一个特征值是λ3=0。假设其对应的特征向量为α=(x1,x2,x3)T。由于A是实对称矩阵,我们有以下两个方程:
αT1α=0
αT2α=0
这可以简化为以下线性方程组:
x1+x2=0
2x1+x2+x3=0
解这个方程组得到基础解系为:α=(-1,1,1)T。因此,属于λ3=0的特征向量为:kα=k(-1,1,1)T(其中k为任意非零常数)。
第一问。如果我选择a1和a3可以吗
可以的。
α1=(1,1,0)Tα3=(−1,2,−3)T都是A的属于特征值6的特征向量
那结果为啥不一样
秩是2,另一特征值是0.不同特征值的特征向量垂直,条件给了\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2-\alpha_1=(1,0,1)是6的两个特征向量,所以(1,1,0)×(1,0,1)=(1,-1,-1) (叉乘)是0的特征向量.第二问PAP^{-1}
我还是不理解第一问的两个向量为啥只能选a1和a2
上图都解释的很清楚了
选a1和a2是先假设,先判定a1和a2成立,再由此推演
那这么说我假设a1和a3
那这么说我假设a1和a3 也可以喽,他俩也是线性无关的啊
# 1)K1,K2,K3是二重特征值6的特征向量,则必然有2个向量共线,即|k1,k2,k3|=0
# 2)A的秩为2,必然有1重特征值0。把a1,a2正交化,这里可以直接看出k1,k3正交。因A为实对称阵,故不同特征值的特征向量正交。设0的特征向量为λ=(i,j,k),则λ·k1=0,λ·K3=0
# 3)先求A的n次方。我喜欢这样求(方法不唯一):设Q为特征矩阵,即(Q的逆)·A·Q=Λ(对角阵),则A=QΛ(Q的逆),A的n次方=Q·(Λ的n次方)·(Q的逆) 之后再乘以P就行了
# 4)我不想计算矩阵乘法了,第三问你自己算吧。第一问a=0。第二问另一特征值为0,特征向量为K4=(0,1,-1)