Question

求极限lim(n->∞) [∫（0,1)(1+sinπt/2) ^n dt]^1/n

Answer 1

问：求极限lim(n->∞) [∫（0,1)(1+sinπt/2) ^n dt]^1/n

答：您好，求极限lim(n->∞) [∫（0,1)(1+sinπt/2) ^n dt]^1/n：0 < xⁿ/(1 + x) < xⁿ0 < ∫(0→1) xⁿ/(1 + x) dx < ∫(0→1) xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) |(0→1) = 1/(n + 1)∵lim(n→∞) 1/(n + 1) = 0∴lim(n→∞) ∫(0→1) xⁿ/(1 + x) dx = 00 ≤ |∫(n→n + k) (sinx)/x dx| ≤ ∫(n→n + k) |sinx|/|x| dx ≤ ∫(n→n + k) 1/n dx = k/n∵lim(n→∞) k/n = 0∴lim(n→∞) ∫(n→n + k) (sinx)/x dx = 0

答：相关资料：0 < xⁿ/(1 + x) < xⁿ0 < ∫(0→1) xⁿ/(1 + x) dx < ∫(0→1) xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) |(0→1) = 1/(n + 1)∵lim(n→∞) 1/(n + 1) = 0∴lim(n→∞) ∫(0→1) xⁿ/(1 + x) dx = 00 ≤ |∫(n→n + k) (sinx)/x dx| ≤ ∫(n→n + k) |sinx|/|x| dx ≤ ∫(n→n + k) 1/n dx = k/n∵lim(n→∞) k/n = 0∴lim(n→∞) ∫(n→n + k) (sinx)/x dx = 0.

问：解答过程和问题没有关系吧？

答：您好，用积分中值定理（曾经在哪里回答过类似的问题），存在c∈[n-1,n+1]，使∫[ln(1+x^2+2^x)]sin(π/x)dx=2[ln(1+c^2+2^c)]sin(π/c)，n→∞时，根据夹逼准则有c→+∞，此时有等价无穷大ln(1+c^2+2^c)～ln(2^c)=cln2，以及等价无穷小sin(π/c)～π/c，所以原式＝2πln2。