Question

求矩阵的n次方的方法

Answer 1

求矩阵的n次方的一般有以下几种方法：
1、计算A^2，A^3找规律，然后用归纳法证明。
2、若r（A）=1，则A=αβ^T，A^n=（β^Tα）^（n-1）A
注：β^Tα=α^Tβ=tr（αβ^T）；
3、分拆法：A=B+C，BC=CB，用二项式公式展开。
适用于B^n易计算，C的低次幂为零：C^2或C^3=0；
4、用对角化A=P^-1diagP
A^n=P^-1diag^nP。
矩阵分解：
将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。
一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。