Question

如何证明向量线性变换之后乘矩阵等于先乘矩阵在做线性变化

Answer 1

问：如何证明向量线性变换之后乘矩阵等于先乘矩阵在做线性变化

答：亲，你好！为您找寻的答案：要证明向量线性变换之后乘矩阵等于先乘矩阵再做线性变换，我们可以采用矩阵乘法的定义来证明。设矩阵A是由线性变换T得到的矩阵，而向量v是该线性变换作用于向量w得到的向量。那么根据矩阵乘法的定义，我们可以得到：A * v = A * T(w)而先乘矩阵再做线性变换的过程可以表示为：T'(A * w)根据向量线性变换的定义，我们可以得到：T'(A * w) = A * T'(w)将上式代入第一式，可以得到：A * v = T'(A * w)因此，向量线性变换之后乘矩阵等于先乘矩阵再做线性变换的命题得证。这个结论在矩阵和线性变换的应用中非常重要，因为它让我们可以更方便地描述和计算线性变换的复合和组合。

问：可以证明这个式子吗

答：亲，你好！为您找寻的答案：首先，向量空间V上的线性表达式f是一个从V到E的线性映射。假设B是向量空间V中的一组基，那么对于任意一个向量v∈V，都可以表示成B中向量的线性组合，即：v = λ1b1 + λ2b2 + ... + λnb_n其中b1, b2, ..., bn是B中的向量，λ1, λ2, ..., λn是E中的标量。对于所有向量a1, a2, ..., an∈V，我们可以定义一个线性表达式f如下：f(v) = λ1(a1 · v) + λ2(a2 · v) + ... + λn(an · v)其中·表示向量的内积。接下来我们需要证明，当B为基时，o((a1, a2, ..., an)B) = (a1, a2, ..., an)B，即在向量组成的矩阵上左乘B的逆得到的结果就是该向量组成的矩阵的坐标向量。因为B是基，所以它是线性无关的。因此，我们可以将向量a1, a2, ..., an表示为B中向量的线性组合：a1 = α1b1 + α2b2 + ... + αnbna2 = β1b1 + β2b2 + ... + βnbn...an = γ1b1 + γ2b2 + ... + γnbn将以上等式代入向量组成的矩阵（按列排列）中，得到：(a1, a2, ..., an)B = [α1, β1, ..., γ1; α2, β2, ..., γ2; ...; αn, βn, ..., γn]我们需要证明的是：o((a1, a2, ..., an)B) = (a1, a2, ..., an)B的坐标向量因为B是基，所以它可以被扩展成一个可逆的矩阵CB。因此：o((a1, a2, ..., an)B) = (a1, a2, ..., an)CB将以上等式代入定义f的等式中，得到：f(v) = λ1(α1b1 · v + β1b2 · v + ... + γ1bn · v) + λ2(α2b1 · v + β2b2 · v + ... + γ2bn · v) + ... + λn(αnb1 · v + βnb2 · v + ... + γnbn · v)因为B是基，所以对于任意向量v∈V，都有：v = x1b1 + x2b2 + ... + xnb_n其中x1, x2, ..., xn是E中的标量。代入f(v)的等式中，得到：f(v) = λ1(α1x1 + β