Question

{[（1+x)^1/x]-cosx}/{[(x+1)^1/3]-1}求这个x趋于0的极限 要全部特别详细的过程，用泰勒展开公式写

Answer 1

问：{[（1+x)^1/x]-cosx}/{[(x+1)^1/3]-1}求这个x趋于0的极限 要全部特别详细的过程，用泰勒展开公式写

答：首先使用泰勒公式将该函数进行展开： 1. 展开(1 + x)^(1/x)(1 + x)^(1/x) = e^(ln(1+x)/x)因此，对ln(1 + x)/x进行泰勒展开 ln(1 + x)/x = ln[(1 + 0)/1] + [d/dx[ln(1 + x)/x]](0)x + R1(x) = 0 + [-1/(x(x+1))] x + R1(x) = -1/(x(x+1)) + R1(x) 其中R1(x)是余项，满足R1(x) = O[(x^2)]，即当x趋近于0时，R1(x)可以用x^2来进行近似。 因此：(1 + x)^(1/x) = e^[-1/(x(x+1)) + R1(x)] = 1 - 1/(x(x+1)) + R2(x)其中R2(x) = O[(x^2)]。 2. 展开cos(x)cos(x) = cos(0) + (-sin(0)x)/1! + cos(ξ)x^2/2!其中0 < ξ < x。 因此：cos(x) = 1 - x^2/2! + R3(x)其中R3(x) = O[(x^3)]。 3. 展开(1 + x)^(1/3)(1 + x)^(1/3) = (1 + 0)^(1/3) + [d/dx[(1 + x)^(1/3)]](0)x + R4(x) = 1/3[(1+x)^(-2/3)]x + R4(x)其中R4(x) = O[(x^2)]。 综上所述，原式可化为：[(1 - 1/(x(x+1)) + R2(x)) - (1 - x^2/2! + R3(x))]/[(1/3)(x + 1)^(1/3) - 1] = [(1/(x(x+1)) + x^2/2! + R5(x))] / [(1/3)(x + 1)^(1/3) - 1]其中R5(x) = O[(x^2)]。 将分子和分母分别进行通分： = [(3x/(x(x+1)) + 3x^3/2 + 3R5(x)x^2)] / [x(x+1)^(1/3) - (x+1)^(1/3)] = [(3 + 3x^2/2 + R6(x)x)] / [x^(1/3)[1 - (1+1/x)^(-1/3)]]其中R6(x) = O[(x^2)]。 由于当x趋于0时，(1 + 1/x)^(-1/3)趋近于1，因此可以将分母进行泰勒展开： 1 - (1+1/x)^(-1/3) = 1 - [1 - (1/3)(1/x) + (2/9)"