Question

三+解答题(共65分)1.(本题9分)求微分方程+y''-ay=x+的通解,其中a为常数.

Answer 1

问：三+解答题(共65分)1.(本题9分)求微分方程+y''-ay=x+的通解,其中a为常数.

答：非齐次微分方程的通解为y=c1e^(sqrt(a)x)+c2e^(-sqrt(a)x)+1/(a+1)x-a/(a+1)。首先，我们需要找到齐次微分方程的通解，即y’’-ay=0的通解。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为r2-a=0，解得r1=sqrt(a)，r2=-sqrt(a)。因此，齐次微分方程的通解为y=c1*e(sqrt(a)x)+c2*e^(-sqrt(a)x)。接下来，我们需要找到非齐次微分方程的一个特解。由于右侧是一个常数加上一个一次函数，我们可以猜测特解为y1=bx+c，其中b和c为待定常数。将y1代入非齐次微分方程得到y1’’-ay1=b，即-b-a(bx+c)=b。解得b=1/(a+1)，c=-a/(a+1)。因此，非齐次微分方程的通解为y=c1e^(sqrt(a)x)+c2e^(-sqrt(a)x)+1/(a+1)x-a/(a+1)。

答：补充说明一下求解非齐次微分方程的特解的方法：对于形如y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的非齐次线性微分方程，我们可以采用待定系数法求解其特解。具体步骤如下：求出对应齐次方程的通解y_h(x)。根据f(x)的形式，猜测特解y_p(x)的形式，并将其代入原方程。求解特解中的待定系数，并将特解y_p(x)写出。原方程的通解为y(x)=y_h(x)+y_p(x)。对于f(x)为多项式函数、三角函数、指数函数等常见函数形式，我们可以根据其特点猜测特解的形式。如果猜测的特解与齐次方程的通解有重叠部分，则需要乘上x、x^2等幂函数，直到得到一个与齐次方程的通解不重叠的特解为止。需要注意的是，待定系数法只适用于f(x)为一些特定函数形式的非齐次线性微分方程，对于其他形式的非齐次微分方程，需要采用其他方法求解。

问：第2题

答：亲您好，是这样的，由于我近期手机被小孩摔坏了，打开图片出现条纹看不清，麻烦您的诉求用文字表达给我，我给您答案。实在抱歉

问：2.（本题9分)设 (x,y,2)=egz,其中z=2（x,1）是由x+y+z+14=0 所硫定的隐西数，求厂(0,1一1

答：首先，我们需要求出z在点(0,1,-15)处的值。将(0,1,-15)代入隐式函数x+y+z+14=0中，得到0+1+(-15)+14=0，即z=-14。接下来，我们需要求出向量(1,1,2)在点(0,1,-15)处的值。将(0,1,-15)代入向量(1,1,2)中，得到(1,1,2)在点(0,1,-15)处的值为(1,1,2)+(-0,0,14)=(1,1,16)。因此，(0,1,-1)在曲面egz上的投影点为(0,1,-15)，在该点处的切平面的法向量为(1,1,16)。