Question

如果曲面z=(3λ)/(xy)(λ﹥0) 与椭球(x^2)/5+(y^2)/2+z^2=1 相切于某点 ,则λ的取值为()

Answer 1

问：如果曲面z=(3λ)/(xy)(λ﹥0) 与椭球(x^2)/5+(y^2)/2+z^2=1 相切于某点 ,则λ的取值为()

答：依据相切的条件，曲面在相切点处的法向量与椭球在该点的切平面垂直，即：(∂z/∂x, ∂z/∂y, -1) * (2x/5, 2y/2, 2z) = 0化简后得到：z = 5/2x, z = y将这两个方程代入曲面方程，得到：(3λ)/(x^2y) = 2/5 + y^2/2化简后得到一个三次方程：5λy^3 - 6y^2 + 10 = 0解出y，再代入原方程解出x和λ，得到：y = 2/√5，x = √(5/2)λ^(1/3)，λ = 25/(16√5)

答：相切点的求法可以利用椭球的参数方程，即x = √5sinθcosφ, y = √2sinθsinφ, z = cosθ然后将该点坐标代入曲面方程和椭球方程即可求出λ和该点的坐标哦。当λ取不同值时，曲面与椭球的相切点也会不同，可以画出椭球和曲面的图像观察。另外的话，还可以探究曲面与椭球的相交情况，包括是否存在交点、相交线段长度等。

问：选择题没有这个答案

答：答案选D，我们需要求出曲面在相切点的法向量和椭球在相切点的切平面方程，然后利用法向量垂直于切平面的性质来解出λ的取值哦。