Question

计算二重积分3x2ydo,其中D由曲线x=y2一1,x一y=1围成.

Answer 1

问：计算二重积分3x2ydo,其中D由曲线x=y2一1,x一y=1围成.

答：你好，这个二重积分的计算可以直接依据定义式计算即可哦。首先，依据题目中所给的曲线$x=y^2$和$x-y=1$，可以得到它们的交点为$(-1,1)$和$(1,1)$。所以，可以将积分区域D分成两个部分：$$D_1 = \{(x,y)|-1\leq x\leq1,y^2\leq x\},\\D_2 = \{(x,y)|-1\leq x\leq1,x-y\leq1\}.$$对于$D_1$，可以将积分式改写为：$$\iint_D 3x^2y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{-1}^1\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}3x^2y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.$$对于$D_2$，可以将积分式改写为：$$\iint_D 3x^2y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{-1}^1\int_{x-1}^{\sqrt{x}}3x^2y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.$$将上述积分式分别计算即可得到最终的结果。

答：另外，由于题目给定的积分区域是由两个曲线所围成的，所以需要将积分区域分成两个部分进行计算。如果积分区域比较复杂，可以通过画图的方式来确定积分区域的边界，从而将积分区域分成若干个简单的部分进行计算。在使用定义式计算二重积分时，要注意积分次序的选择。通常情况下，应当先对内层积分变量进行积分，再对外层积分变量进行积分，这样能够让计算更加简单明了。

答：亲，您还有什么不明白的地方吗？您可以详细跟我说说您的情况，我好为您更详细的解答哦。