Xy2.求 f(x,y,z)=lnx^yz(x,y,z>0) 的全微分
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咨询记录 · 回答于2023-03-18
Xy2.求 f(x,y,z)=lnx^yz(x,y,z>0) 的全微分
亲亲您好！
很高兴为您解答：首先，我们对 f(x,y,z) 取自然对数，得到：ln f(x,y,z) = yz ln x对 ln f(x,y,z) 求 x 的偏导数，有：1/f(x,y,z) * (∂f/∂x) = yz/x∂f/∂x = f(x,y,z) * yz/x同理，对 ln f(x,y,z) 求 y 和 z 的偏导数，有：∂f/∂y = f(x,y,z) * z ln x∂f/∂z = f(x,y,z) * y ln x因此，f(x,y,z) 的全微分为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + ∂f/∂z dz = f(x,y,z) * yz/x dx + f(x,y,z) * z ln x dy + f(x,y,z) * y ln x dz = f(x,y,z) * [yz/x dx + z ln x dy + y ln x dz] = x^yz * [yz/x dx + z ln x dy + y ln x dz] = x^yz * [y dz + z ln x dy + y ln x dz]/x = x^yz * [y + z ln x] dz + x^yz * y ln x dy / x = f(x,y,z) * [y + z ln x] dz + f(x,y,z) * y ln x dy / x
很高兴为您解答：首先，我们对 f(x,y,z) 取自然对数，得到：ln f(x,y,z) = yz ln x对 ln f(x,y,z) 求 x 的偏导数，有：1/f(x,y,z) * (∂f/∂x) = yz/x∂f/∂x = f(x,y,z) * yz/x同理，对 ln f(x,y,z) 求 y 和 z 的偏导数，有：∂f/∂y = f(x,y,z) * z ln x∂f/∂z = f(x,y,z) * y ln x因此，f(x,y,z) 的全微分为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy + ∂f/∂z dz = f(x,y,z) * yz/x dx + f(x,y,z) * z ln x dy + f(x,y,z) * y ln x dz = f(x,y,z) * [yz/x dx + z ln x dy + y ln x dz] = x^yz * [yz/x dx + z ln x dy + y ln x dz] = x^yz * [y dz + z ln x dy + y ln x dz]/x = x^yz * [y + z ln x] dz + x^yz * y ln x dy / x = f(x,y,z) * [y + z ln x] dz + f(x,y,z) * y ln x dy / x
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