Question

15.求点+P(2,-1,1)+到直线L:+x-y+z=2+x+y+z=0+的距离.

Answer 1

问：15.求点+P(2,-1,1)+到直线L:+x-y+z=2+x+y+z=0+的距离.

答：直线 L 可以表示为以下参数方程：x = -2ty = tz = t其中，t 是任意实数。首先，我们可以找到点 P 到直线 L 上的一点 Q，使得向量 PQ 与直线 L 垂直。设点 Q 在直线 L 上的位置为 (x0, y0, z0)，则有：Q = (-2t, t, t)PQ = Q - P = (-2t-2, t+1, t-1)由于 PQ 与直线 L 垂直，所以 PQ 与直线 L 的方向向量的点积等于零。直线 L 的方向向量为 (1,-1,1)，因此有：(1,-1,1)·PQ = 0展开上式并代入 PQ 的值，可以得到：(1,-1,1)·(-2t-2, t+1, t-1) = 0化简上式后可得：-4t + 2 = 0解得：t = 1/2因此，点 Q 的坐标为：Q = (-1, 1/2, 1/2)点 P 到直线 L 的距离即为向量 PQ 的长度，因此有：|PQ| = √[(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2]= √[(-1-2)^2 + (1/2+1)^2 + (1/2-(-1))^2]= √29/2因此，点 P 到直线 L 的距离为 √29/2。