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求不定积分根号下(x^2+a^2)x^2
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咨询记录 · 回答于2024-01-15
求不定积分根号下(x^2+a^2)x^2
要求解这个不定积分,我们可以使用代换法来简化问题。
让我们进行代换,令 $u = x^2 + a^2$,那么 $du = 2x dx$,
然后将 $\sqrt{x^2 + a^2}$ 替换为 $\sqrt{u}$。
现在,我们将积分转化为新变量 $u$ 的积分:
$\int (\sqrt{x^2 + a^2})x^2 dx = \frac{1}{2} \int (\sqrt{u}) du$
对于 $\frac{1}{2} \int (\sqrt{u}) du$,我们可以使用简单的幂函数积分公式来解决。
最终的结果是:$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (u^{\frac{3}{2}}) + C$,其中 $C$ 是常数。
将 $u$ 替换回原来的变量 $x^2 + a^2$,我们得到了不定积分的解:$\frac{1}{3} \times (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}} + C$,其中 $C$ 是常数。
因此,$\int (\sqrt{x^2 + a^2})x^2 dx = \frac{1}{3} \times (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}} + C$。