Question

求不定积分根号下(x^2+a^2)x^2

Answer 1

问：求不定积分根号下(x^2+a^2)x^2

答：要求解这个不定积分，我们可以使用代换法来简化问题。 让我们进行代换，令 $u = x^2 + a^2$，那么 $du = 2x dx$， 然后将 $\sqrt{x^2 + a^2}$ 替换为 $\sqrt{u}$。 现在，我们将积分转化为新变量 $u$ 的积分： $\int (\sqrt{x^2 + a^2})x^2 dx = \frac{1}{2} \int (\sqrt{u}) du$ 对于 $\frac{1}{2} \int (\sqrt{u}) du$，我们可以使用简单的幂函数积分公式来解决。 最终的结果是：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (u^{\frac{3}{2}}) + C$，其中 $C$ 是常数。 将 $u$ 替换回原来的变量 $x^2 + a^2$，我们得到了不定积分的解：$\frac{1}{3} \times (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}} + C$，其中 $C$ 是常数。 因此，$\int (\sqrt{x^2 + a^2})x^2 dx = \frac{1}{3} \times (x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}} + C$。