Question

2求 f ydx+xdy, 其中L为由直线 y=x-|||-及抛物线 y=x^2) 所围成的区域的整-||

Answer 1

问：2求 f ydx+xdy, 其中L为由直线 y=x-|||-及抛物线 y=x^2) 所围成的区域的整-||

答：首先，我们需要求出该区域的边界方程。观察图形可以发现，当$x\in[-1,0]$时，该区域被直线$y=x-1$和$x$轴所夹；当$x\in[0,1]$时，该区域被抛物线$y=x^2$和$x$轴所夹。因此，该区域的整体边界方程为：$$ y=\begin{cases} x-1 & x\in[-1,0]\ x^2 & x\in[0,1] \end{cases} $$对于$f=ydx+xdy$，我们可以将其改写为$f=(x-1)dx+xdx+x(2x-1)dy$。

答：由格林公式可得：$$ \int_L fdx = \iint_D \frac{\partial f}{\partial y} dxdy \ \int_L fdy = -\iint_D \frac{\partial f}{\partial x} dxdy $$其中，$D$是该区域的投影区域。根据上面的式子，我们只需计算$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$并进行积分即可。$$ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 1+2xy \ \frac{\partial f}{\partial y} &= x-1\end{aligned} $$对$\frac{\partial f}{\partial x}$在$x\in[-1,0]$上积分，得到：$$ -\int_{-1}^0(1+2xy)dx=-\left(x+\frac{x^2y}{2}\right)\Bigg|_{-1}^{0}=\frac{1}{2} $$对$\frac{\partial f}{\partial x}$在$x\in[0,1]$上积分，得到：$$ \int_0^1(1+2xy)dx=\left(x+\frac{x^2y}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{3}{2} $$对$\frac{\partial f}{\partial y}$在$y\in[0,1]$上积分，得到：$$ \int_0^1(x-1)dy=\left[xy-y\right]_0^1=1 $$

答：$$ \int_L fdx + fdy = \int_L (ydx+xdy)=\iint_D \frac{\partial f}{\partial x} dxdy + \frac{\partial f}{\partial y} dxdy = \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1=3 $$综上所述，$f=ydx+xdy$在由直线$y=x-1$和抛物线$y=x^2$所围成的区域$L$的整个长度为$3$。