Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的一条渐近线为x—2y=0一个焦点到渐近线距离为1

Answer 1

问：已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的一条渐近线为x—2y=0一个焦点到渐近线距离为1

答：由于双曲线的方程为 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，所以另一条渐近线必然是 y = kx (k 是常数)。将其带入双曲线方程中得：x^2/a^2 - (kx)^2/b^2 = 1化简后得到：(k^2/a^2 - 1/b^2) x^2 = 1为了使这个式子有解，必须满足 k^2/a^2 - 1/b^2 = 0，即 k^2 = a^2/b^2。由于题目已经给出了一条渐近线的方程为 x - 2y = 0，因此可以计算出该渐近线的斜率 k1 = 1/2。根据焦点和渐近线的定义，可知焦点到渐近线的距离 d 等于双曲线中心到渐近线的距离，也就是 b/k1。因此有：b/k1 = b/(1/2) = 2b = 1解得 b = 1/2。又因为 k^2 = a^2/b^2，代入 k = k1 = 1/2 和 b = 1/2 可得：a^2 = b^2 * k^2 = (1/2)^2*(1/4) = 1/16所以 a = 1/4。综上所述，该双曲线的方程为 x^2/(1/4)^2 - y^2/(1/2)^2 = 1。其中一个焦点在原点，另一个焦点为 (0, 1)。因此，该双曲线的方程也可以写成 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，其中 a = 1/4，b = 1/2。