Question

已知等差数列an满足a(n+1)➕n=2an➕8求an通项公式

Answer 1

问：已知等差数列an满足a(n+1)➕n=2an➕8求an通项公式

答：亲，您好，很高兴为你解答问题：已知等差数列an满足a(n+1)➕n=2an➕8求an通项公式答，您好，an的通项公式为：an = n^2 + n + 8依据已知的等差数列性质，我们可以利用递推关系式来求解an的通项公式。首先，依据题目中给出的递推关系式 a(n+1) + n = 2an + 8，我们可以将其转化为 a(n+1) = 2an - n + 8。接下来，我们观察该递推关系式的右边部分。注意到右边的2an项与左边的a(n+1)项相同，只是多了一个常数项8。所以，我们可以猜测an的通项公式中通常存在一个常数项C，使得 an = Cn^2 + Dn + E，并且该常数项C通常与右边的2an项的系数相等。将猜测的通项公式代入递推关系式中，我们得到：C(n+1)^2 + D(n+1) + E = 2(Cn^2 + Dn + E) - n + 8对上式进行整理和化简，我们可以得到：C = 2CD = -2C + 1E = 8所以，常数项C的值为0，常数项D的值为1，常数项E的值为8。所以，an的通项公式为：an = n^2 + n + 8希望对您有帮助

答：扩展补充：在这个问题中，我们通过观察递推关系式的特点，进行了猜测并验证了通项公式的形式。这是一种常用的解题方法，称为猜想法。通过观察数列中的规律，我们可以猜测通项公式的形式，并通过代入递推关系式来验证是否成立。别的，等差数列的通项公式有多种推导方法，其中最常见的是使用等差数列的性质 a(n+1) - an = d （d为公差）进行求解。在这个问题中，由于给出的递推关系式不能直接得到公差d的值，所以我们采用了猜想法来求解通项公式。

问：还是不太明白，公式哪来的

答：你好，很抱歉没有清楚地解释通项公式的推导过程。让我更详细地解释一下。在题目中，我们有递推关系式 a(n+1) + n = 2an + 8。我们希望找到一个通项公式来表示an，即找到一个表达式，使得给定任意n的值，可以直接计算出对应的an的值。我们假设通项公式为 an = Cn^2 + Dn + E，其中C、D、E是待定的常数。将这个通项公式代入递推关系式中，得到：C(n+1)^2 + D(n+1) + E + n = 2(Cn^2 + Dn + E) + 8我们将上式两边展开并整理，得到：Cn^2 + (2C+D)n + (C+D+E) + n = 2Cn^2 + 2Dn + 2E + 8通过比较等式两边同次幂的系数，我们可以得到以下关系：C = 2C2C + D = 2DC + D + E = 2E + 8由第一个等式可知 C = 0，由第二个等式可知 D = -2C + 1 = 1，由第三个等式可知 E = 8。所以，我们得到了通项公式 an = n^2 + n + 8。这样，我们就找到了满足给定递推关系式的an的通项公式。