Question

不定积分拆项积分中2次方怎么拆

Answer 1

问：不定积分拆项积分中2次方怎么拆

答：不定积分中，拆项积分主要是利用分配律，将被积函数中的项分离拆开，并且进行分别的积分。对于二次方的项，我们通常采用配方法，即将二次项配成一个完全平方，然后利用代数变换进行拆分。例如，对于被积函数$f(x) = x^2 + 3x + 2$，我们可以将$x^2$和$3x$进行拆分：$$ \int (x^2 + 3x + 2) dx = \int x^2 dx + \int 3x dx + \int 2 dx $$对于第一个积分$\int x^2 dx$，我们可以将$x^2$拆成$x^2=(x+0.5\cdot3)^2-3^2$的形式，即：$$ \int x^2 dx = \int [(x+\frac{3}{2})^2-9] dx = \frac{1}{3} (x+\frac{3}{2})^3 - 9x + C $$对于第二个积分$\int 3x dx$，直接积分得：$$ \int 3x dx = \frac{3x^2}{2} + C $$对于最后一个积分$\int 2 dx$，直接积分得：$$ \int 2 dx = 2x + C $$通过拆项积分和配方法，我们可以得到最终的积分结果为：$$ \int (x^2 + 3x + 2) dx = \frac{1}{3} (x+\frac{3}{2})^3 - 9x + \frac{3x^2}{2} + 2x + C $$其中$C$为任意常数。

问：你讲得真棒！可否详细说一下

答：不定积分中，拆项积分主要是利用分配律，将被积函数中的项分离拆开，并且进行分别的积分。对于二次方的项，我们通常采用配方法，即将二次项配成一个完全平方，然后利用代数变换进行拆分。例如，对于被积函数$f(x) = x^2 + 3x + 2$，我们可以将$x^2$和$3x$进行拆分：$$ \int (x^2 + 3x + 2) dx = \int x^2 dx + \int 3x dx + \int 2 dx $$对于第一个积分$\int x^2 dx$，我们可以将$x^2$拆成$x^2=(x+0.5\cdot3)^2-3^2$的形式，即：$$ \int x^2 dx = \int [(x+\frac{3}{2})^2-9] dx = \frac{1}{3} (x+\frac{3}{2})^3 - 9x + C $$对于第二个积分$\int 3x dx$，直接积分得：$$ \int 3x dx = \frac{3x^2}{2} + C $$对于最后一个积分$\int 2 dx$，直接积分得：$$ \int 2 dx = 2x + C $$通过拆项积分和配方法，我们可以得到最终的积分结果为：$$ \int (x^2 + 3x + 2) dx = \frac{1}{3} (x+\frac{3}{2})^3 - 9x + \frac{3x^2}{2} + 2x + C $$其中$C$为任意常数。