Question

设A为n阶矩阵,请说明矩阵A的秩、齐次线性方程组Ax=0的基础解系、Ax=0解向量集

Answer 1

问：设A为n阶矩阵,请说明矩阵A的秩、齐次线性方程组Ax=0的基础解系、Ax=0解向量集

答：矩阵A的秩指的是A的列向量（或者行向量）组成的向量组中，线性无关的向量的个数。通常用r(A)表示矩阵A的秩。矩阵的秩是非常重要的一个性质，它可以决定矩阵的很多性质，比如它的逆矩阵是否存在等等。对于齐次线性方程组Ax=0，它的解空间就是矩阵A的零空间，也就是所有满足Ax=0的向量的集合。在这个向量集合中，如果能够找到一组基础解系B={b1,b2,...,bp}，使得任意一个解向量x都可以表示成基础解系B中向量的线性组合，那么这组基础解系就是Ax=0的解空间的一组基础解系。基础解系的个数就是矩阵A的秩r(A)与矩阵A的列数n之差，即n-r(A)。每个基础解系中向量的个数也就是自由变量的个数，也就是Ax=0中非主元变量的个数。总结一下，矩阵A的秩可以通过矩阵的列向量组成的向量组的线性无关向量的个数来确定。齐次线性方程组Ax=0的解向量集合是矩阵A的零空间，基础解系是Ax=0解向量集合的一组基础解系，其个数为n-r(A)，每个基础解系中向量的个数就是自由变量的个数。