Question

(an)n∈N 是一个极限为 a∈R的收敛数列。请问如何证明如果以任何方式改变项的顺序，数列仍然收敛到a。

Answer 1

问：(an)n∈N 是一个极限为 a∈R的收敛数列。请问如何证明如果以任何方式改变项的顺序，数列仍然收敛到a。

答：您好，很高兴为您解答这道题。答：对于任意正整数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|M成立哦。我们需要证明，无论以何种顺序排列这些项，都能够保证收敛到a。假设将原数列重新排列为b1, b2, b3, ...，并且该数列也收敛到a。我们需要证明，对于任意正整数M，存在正整数K，使得当k>K时，有|bk-a|M成立。由于原数列收敛到a，所以对于任意正整数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<1/M成立。考虑如何从原数列中选取一些项，组成新的排列，使得新排列中的第k项为bk。首先，选择原数列中满足|a1-a|<1的项作为新排列的第一项。然后，选择原数列中满足|a2-a|<1的项中最小的一项作为新排列的第二项。以此类推，选择原数列中满足|an-a|<1的项中最小的一项作为新排列的第n项。这样构造出来的新数列，元素的个数有限，所以可以证明它是一个收敛数列。同时，对于任意正整数M，选择原数列中满足|an-a|<1/M的项中最小的一项作为新排列的第n项，使得|bn-a|<1/M成立。所以，无论以何种顺序排列这些项，都能够保证收敛到a。

答：扩展补充：实际上，对于一个绝对收敛的数列，改变项的顺序不会影响其收敛性和极限值。这个结论被称为Riemann定理或Riemann-Lebesgue引理。它的证明需要使用到调和级数的性质和Fourier级数的收敛性，属于高等数学范畴。

问：有数列(an)n∈N，a∈R。请问如何证明 当且仅当(an)n∈N的每个平凡子列都收敛于a时，数列(an)n∈N收敛于a。

答：要证明当且仅当，需要分别证明两个方向，即：1. 如果数列(an)n∈N收敛于a，则它的每个平凡子列都收敛于a哦。2. 如果数列(an)n∈N的每个平凡子列都收敛于a，则它收敛于a。证明：1. 假设数列(an)n∈N收敛于a，考虑任意它的一个平凡子列(an_k)k∈N。由于这是数列(an)n∈N的子列，所以其下标k一定是递增的自然数数列。又由于数列(an)n∈N收敛于a，所以对于任意ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，有|an-a|N)时，有k>n>N，所以当k>N时，也有|an_k-a|0，存在自然数N，使得当n>N时，有|an-a|N，使得|an-a|≥ε。取平凡子列(an_k1)k1∈N，使得|an_k1-a|≥ε。由于数列(an)n∈N的每个平凡子列都收敛于a，所以存在其平凡子列(an_k2)k2∈N，使得|an_k2-a|<ε/2。再取这两个平凡子列的交(an_k3)k3∈N，即可得到一个新的平凡子列，使得|an_k3-a|≥ε/2，与数列(an)n∈N的每个平凡子列都收敛于a矛盾。所以原命题成立。

答：扩展补充：平凡子列：就是原数列本身。注：本题证明中需要用到反证法和构造法。

问：老师请问图片上这一题该怎么证明？

问：(an)是一个有界数列。请证明(an)的子列(ank)和(anm)存在有lim k→∞ a下标n下标k=lim n→∞ sup a下标n 和lim m→∞ a下标n下标m =lim n→∞ inf a下标n

答：首先，我们来看子列(ank)。由于(an)是有界数列，所以存在一个实数M，使得对于任意的n，有|an|<=M。同时，由于(ank)是(an)的子列，所以它的下标k是递增的，也就是说，n<=nk哦。所以，我们可以得到：|ank|<=|an|0，都存在一个正整数N，使得当k>N时，有|M-|an||2。而对于任意的n，依据极限的定义，都存在一个正整数K，使得当k>K时，有|M-|ank||2。所以，当k>max{N,K}时，我们有：| |an| - |ank| | <= |an-ank| <= |an| + |ank| <= 2M依据三角不等式，我们可以得到：| |an| - |ank| | <= |an-ank| <= |an| + |ank| <= 2M < ε这说明(ank)收敛于某个实数L，也就是说，lim k→∞ ank = L接下来，我们来看子列(anm)。同样地，由于(an)是有界数列，所以存在一个实数M，使得对于任意的n，有|an|<=M。同时，由于(anm)是(an)的子列，所以它的下标m是递增的，也就是说，n<=nm。所以，我们可以得到：|anm|<=|an|0，都存在一个正整数N，使得当m>N时，有|M-|an||2。而对于任意的n，依据极限的定义，都存在一个正整数M，使得当m>M时，有|M-|anm||2。所以，当m>max{N,M}时，我们有：| |an| - |anm| | <= |an-anm| <= |an| + |anm| <= 2M依据三角不等式，我们可以得到：| |an| - |anm| | <= |an-anm| <= |an| + |anm| <= 2M < ε这说明(anm)收敛于某个实数L，也就是说，lim m→∞ anm = L最后，我们来证明lim k→∞ a下标n下标k=lim n→∞ sup a下标n和lim m→∞ a下标n下标m =lim n→∞ inf a下标n。由于(sup a下标n)和(inf a下标n)分别是(a下标n下标k)和(a下标n下标m)的上确界和下确界，所以它们是有界的，且满足以下关系：inf a下标n <