Question

∫0到1 y^2/x^2+y^2 的定积分

Answer 1

问：∫0到1 y^2/x^2+y^2 的定积分

答：用带入法.设y=c(sin t),c^2=x^2+1则变为从arcsin((根号(c^2-1))/c)到arcsin(1/c)的积分.如下：y（1+x^2-y^2)^(1/2)dy=csin(t)（1+x^2-(csin(t))^2)^(1/2)*(csin(t))'dt=c^3|sin(t)|(cos(t))^2 dt默认sin(arcsin((根号(c^2-1))/c))和sin(arcsin(1/c))大于0积分后得-(c^3*cos^3(t))/3带入arcsin((根号(c^2-1))/c)到arcsin(1/c)因为cos(arcsin((根号(c^2-1))/c))=1/ccos(arcsin(1/c))=(根号(c^2-1))/c得积分最终为((c^2-1)*根号(c^2-1))/3-1/3c^2=x^2+1带入有x^3/3-1/3

答：用带入法.设y=c(sin t),c^2=x^2+1则变为从arcsin((根号(c^2-1))/c)到arcsin(1/c)的积分.如下：y（1+x^2-y^2)^(1/2)dy=csin(t)（1+x^2-(csin(t))^2)^(1/2)*(csin(t))'dt=c^3|sin(t)|(cos(t))^2 dt默认sin(arcsin((根号(c^2-1))/c))和sin(arcsin(1/c))大于0积分后得-(c^3*cos^3(t))/3带入arcsin((根号(c^2-1))/c)到arcsin(1/c)因为cos(arcsin((根号(c^2-1))/c))=1/ccos(arcsin(1/c))=(根号(c^2-1))/c得积分最终为((c^2-1)*根号(c^2-1))/3-1/3c^2=x^2+1带入有x^3/3-1/3

答：这是二重积分，要确定积分上下限。 积分区域的图形知道吧？是闭环域。 换成极坐标后，角度θ从0积到2∏，r从1积到2。 表达式为∫dθ∫lnr^2 rdr，注意要写积分上下限。 然后算2个定积分就行了。

答：希望对您有所帮助

答：祝您生活愉快