Question

设A,B均为n阶方阵,且(A+B)2=E,其中A为对称矩阵且可逆,求 (A B+E)(B'A-E)

Answer 1

问：设A,B均为n阶方阵,且(A+B)2=E,其中A为对称矩阵且可逆,求 (A B+E)(B'A-E)=

答：证 由A 2 =E两端取行列式得|A|=±1，同理有|B|=±1，又|A|=-|B|，故有|A||B|=-1. 因为A 2 =E，B 2 =E，所以有 |A+B|=|AE+EB|=|AB 2 +A 2 B|=|A(B+A)B| =|A||B||B+A|=-|A+B| 于是得|A+B|=0.行列式的值是一个数，要证明|A+B|=0，只须证明|A+B|=-|A+B|，最终答案就是：AB = BA