Question

ydx-xdy为什么不是某个二元函数的全微分?

Answer 1

问：ydx-xdy为什么不是某个二元函数的全微分?

答：对于二元函数f(x,y),全微分可以表示为:f_x = f的关于x的第一次偏导数, 代表当x发生微小变化Δx时,f的变化率。f_y = f的关于y的第一次偏导数, 代表当y发生微小变化Δy时,f的变化率。f_xx = f的关于x的第二次偏导数,代表当x发生微小变化Δx时,f_x的变化率。它表示f在x方向上的曲率。f_yy = f的关于y的第二次偏导数,代表当y发生微小变化Δy时,f_y的变化率。它表示f在y方向上的曲率。f_xy = f的混合偏导数,代表当x和y同时发生微小变化Δx和Δy时,f_x的变化率。它表示x和y方向上的交叉相关性。ydx - xdy 代表了f_x和f_y的差值。但f_x和f_y都是f关于x和y的第一次导数,代表着f在x和y方向上的变化率。它们的差值并不等于f的全微分,也就不是某个二元函数的全微分。全微分应该是 (∂f/∂x, ∂f/∂y) ,表示随x和y同时微小变化时,f的整体变化率。它包括了f在各个方向上(x、y及两者的交叉作用)的微小变化,是衡量二元函数本地变化最为全面和准确的导数。ydx - xdy 仅代表了f_x和f_y的差值,并不等同于全微分,所以它不是某个二元函数f的全微分。全微分应该由(∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。