Question

已知a为常数且 a>1, 函数 f(x)=a^(x/2)+x-2 的零点为x1,函数 g(x)=2loga^x+x-2的零点x2,则x1+x2=–,1/x1+2/x2+x1/x2的最小值是多少

Answer 1

问：已知a为常数且 a>1, 函数 f(x)=a^(x/2)+x-2 的零点为x1,函数 g(x)=2loga^x+x-2的零点x2,则x1+x2=–,1/x1+2/x2+x1/x2的最小值是多少

答：已知 a 为常数且 a>1，函数 f(x)=a^(x/2)+x-2 的零点为 x1，函数 g(x)=2loga^x+x-2 的零点为 x2。要求 x1+x2 和 1/x1+2/x2+x1/x2 的最小值。首先求出函数 f(x) 和 g(x) 的零点：当 f(x)=0 时，a^(x/2)=2-x。由于 a>1，所以 a^(x/2) 为增函数，2-x 为减函数，它们相加的结果也是减函数，因此方程 f(x)=0 只有一个实数解，记为 x1。当 g(x)=0 时，2loga^x=2-x。移项可得 loga^x=1-x/2，再对两边同时取 a 的指数得 x=a^(1-x/2)。因为 a>1，所以 a^(1-x/2) 为增函数，x 为减函数，它们相加的结果也是减函数，因此方程 g(x)=0 只有一个实数解，记为 x2。

答：接下来，求 x1+x2。因为 a^(x/2)=2-x 和 2loga^x=2-x，所以 a^(x/2)=2-x=2loga^x。将两边取 loga 得到 x/2=1-loga^x，整理得到 x=2(1-loga^x)。将 x1 和 x2 带入上式，得到 x1+x2=2(1-loga^x1)+2(1-loga^x2)=4-2(loga^x1+loga^x2)=4-2loga^(x1x2)。接下来，求 1/x1+2/x2+x1/x2 的最小值。注意到 1/x1+2/x2+x1/x2=(x2+2x1+x1^2)/(x1x2)，而 x1+x2=4-2loga^(x1x2)，因此我们可以将 x1x2 表示为 x1x2=e^(2-(x1+x2)/2)=e^(2-loga^(x1x2))=e^2/a^(x1+x2)/4。带入上式得到：1/x1+2/x2+x1/x2=(x2+2x1+x1^2)/(e^2a^(x1+x2)/4)=4(x2+2x1+x1^2)/(e^2a^4(x1x2)^(1/2))

答：因为 a>1，所以 x1+x2>0，所以 (x1x2)^(1/2)=a^((x1+x2)/2)x1+2/x2+x1/x2>4(x2+2x1+x1^2)/(e^2a^4a)=4(x2+2x1+x1^2)/(e^2a^5)

答：因此，要求 1/x1+2/x2+x1/x2 的最小值，需要求出 4(x2+2x1+x1^2)/(e^2a^5) 的最小值。将 x1 和 x2 带入上式，得到：4(x2+2x1+x1^2)/(e^2a^5)=4(2-loga^x1+4-2loga^x2+(2-loga^x1)^2)/(e^2a^5)令 y=loga^x1，z=loga^x2，代入上式得到：4(2-y+4-2z+(2-y)^2)/(e^2a^5)=4(2-y+4-2z+y^2-4y+4)/(e^2a^5)=4(y^2-2y+6-2z)/(e^2a^5)将 y^2-2y+6-2z 表示为 (y-1)^2+(z-2) 的形式，得到：

答：4(y^2-2y+6-2z)/(e^2a^5)=4[(y-1)^2+(z-2)]/(e^2a^5)由于 (y-1)^2+(z-2) 的最小值为 0，所以 4(y^2-2y+6-2z)/(e^2a^5) 的最小值为 0。因此，1/x1+2/x2+x1/x2>0即 1/x1+2/x2+x1/x2 的最小值为 0。