Question

随机变量X与Y相互独立且服从区间+(-a,a)上的+均匀分布,求随机变量函数Z=XY的概率密度

Answer 1

问：随机变量X与Y相互独立且服从区间+(-a,a)上的+均匀分布,求随机变量函数Z=XY的概率密度

问：急

答：你好，随机变量X与Y相互独立且服从区间+(-a,a)上的+均匀分布，求随机变量函数Z=XY的概率密度哦。

答：通过随机变量函数的转换，我们可以得出随机变量函数Z的概率密度函数f(z)=∫∞~∞fxy(x,y)dz/x， 其中fxy是X和Y的联合概率密度函数。由于X与Y相互独立，所以fxy(x,y) = fx(x)fy(y)， 其中fx(x)和fy(y)分别为X和Y的概率密度函数。 所以，f(z)=∫∞~∞fx(x)fy(z/x)/xdy，其中y的积分范围是从-z/a到z/a。 将fx(x)和fy(z/x)代入上式，并进行积分化简，得到f(z) = 1/(?a^2) ∫max{z/a,-a}~min{z/a,a} [(z/x)fx(x)] dy。 我们知道fx(x)在区间+(-a,a)上为常数1/2a， 所以f(z) = 1/(?a^2) * 1/2a * ∫max{z/a,-a}~min{z/a,a} (z/x)dy， 将y的积分代入并进行化简，得到f(z) = 1/2a * I(z, a^2) - I(z,-a^2)， 其中I(z, a^2)表示z大于a^2时的积分。

答：另外，求出I(z, a^2)和I(z,-a^2)的具体表达式如下： I(z,-a^2) = ∫max{-a, z/a}^a (z/x) dx = 2zlna - z^2/(2a) I(z, a^2) = ∫-a^z/a (z/x) dx = -2zlna - z^2/(2a) 将I(z, a^2)和I(z,-a^2)代入f(z)的表达式中，得到： f(z) = 1/2a * (-2zlna) = -zlna/a^2 其中，a不等于0，0处f(z)=0。最终，我们得到随机变量函数Z=XY的概率密度为：f(z) = -zlna/a^2（a不等于0），0（a等于0）。

答：随机变量函数Z=XY的概率密度为f(z) = -zlna/a^2（a不等于0），0（a等于0）。