计算对坐标曲面积分∫∫[(y+z^2)dydz-xdxdy, 其中是旋转抛物面 z=1/2(x^2+y^2) 介于平面 z=0及z=2 之间部分的下侧
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将参数化表达式代入被积函数中，得到：
\F(x,y,z) = (y+z^2)dydz - xdxdy
= (rsinθ + (1/2r^2)^2)rdzdy - rcosθdxdy
= (r^2sinθ + 1/4r^3)dzdy - r^2cosθdxdy
计算积分时，首先对z进行积分，得到：
\int\int[(r^2sinθ + 1/4r^3)dzdy] = (r^2sinθ/2 + 1/12r^4)\int dy from 0 to 2π
= (π/2)r^2sinθ + (1/6)πr^4
接下来对x进行积分，得到：
\int(π/2)r^2sinθ + (1/6)πr^4)dxdy
= \int(π/2)r^2sinθ + (1/6)πr^4rdθdr from 0 to √2, 0 to 2π
= (π/3)√2
因此，对坐标曲面积分的结果为(π/3)√2。
咨询记录 · 回答于2023-12-28
计算对坐标曲面积分∫∫[(y+z^2)dydz-xdxdy, 其中是旋转抛物面 z=1/2(x^2+y^2) 介于平面 z=0及z=2 之间部分的下侧
您好，亲，以下是根据您的提问，计算对坐标曲面积分∫∫[(y+z^2)dydz-xdxdy, 其中是旋转抛物面 z=1/2(x^2+y^2) 介于平面 z=0及z=2 之间部分的下侧，整理出来的答案：
首先需要确定积分区域的边界，即旋转抛物面在平面z=0和z=2之间的下侧部分。根据对称性，可以令积分区域在x-y平面上为圆盘形，半径为r=√2。
接下来，需要确定用于计算积分的参数化表达式。可以使用柱坐标系，其参数化表达式为：
x = rcosθ
y = rsinθ
z = 1/2r^2
在这个参数化表达式下，积分区域可写为：
0 ≤ r ≤ √2
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ z ≤ 2
将参数化表达式代入被积函数中，得到：
\F(x,y,z) = (y+z^2)dydz - xdxdy
= (rsinθ + (1/2r^2)^2)rdzdy - rcosθdxdy
= (r^2sinθ + 1/4r^3)dzdy - r^2cosθdxdy
计算积分时，首先对z进行积分，得到：
\∫∫[(r^2sinθ + 1/4r^3)dzdy] = (r^2sinθ/2 + 1/12r^4)∫dy from 0 to 2π
= (π/2)r^2sinθ + (1/6)πr^4
接下来对x进行积分，得到：
\∫(π/2)r^2sinθ + (1/6)πr^4dxdy
= ∫(π/2)r^2sinθ + (1/6)πr^4rdθdr from 0 to √2, 0 to 2π
= (π/3)√2
因此，对坐标曲面积分的结果为(π/3)√2。
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