Question

直线 (x-1)/2=(y-2)/3=(z-3)/4 与平面 x+6y+8z-7=0 的位置关系为

Answer 1

问：直线 (x-1)/2=(y-2)/3=(z-3)/4 与平面 x+6y+8z-7=0 的位置关系为

答：亲爱的用户： 为了判断直线和平面的位置关系，我们需要考虑以下三种情况： 1. 直线和平面相交 首先，我们可以将直线的参数方程和平面的一般式方程联立起来，求解直线和平面的交点。直线的参数方程为：x = 1 + 2ty = 2 + 3tz = 3 + 4t将其代入平面的一般式方程中，得到：(1+2t) + 6(2+3t) + 8(3+4t) - 7 = 0化简后得到：50t + 28 = 0解得：t = -14/25将t的值代入直线的参数方程中，得到交点的坐标为：P(-19/25, -1/25, -42/25)接下来，我们需要判断交点是否在直线的定义域内。由于直线的参数方程存在唯一的定义域，因此只需要检查t的值是否在可行范围内即可。直线的定义域为：t ∈ R因此，交点P在直线的定义域内，直线和平面相交。 2. 直线和平面平行且不重合 如果直线和平面平行且不重合，那么它们的方向向量必须相互垂直。因此，我们可以求解直线的方向向量和平面的法向量，检查它们是否垂直。直线的方向向量为：l = (2, 3, 4)平面的法向量为：n = (1, 6, 8)计算它们的点积，得到：l · n = 2 + 18 + 32 = 52 ≠ 0因此，直线和平面不垂直，它们平行且不重合。 3. 直线和平面重合 如果直线和平面重合，那么它们的方向向量必须共线。因此，我们可以求解直线的方向向量和平面的法向量，检查它们是否共线。直线的方向向量为：l = (2, 3, 4)平面的法向量为：n = (1, 6, 8)计算它们的叉积，得到：l × n = (-6, 0, 6)由于叉积的结果为非零向量，因此直线和平面不共线，它们不重合。 综上所述，直线和平面的位置关系为：相交。

问：请问不用求直线方向向量与平面法向量夹角吗

答：在判断直线和平面的位置关系时，我们其实不必求出直线方向向量与平面法向量的夹角，而是可以直接检查它们的点积或叉积是否为零。这是因为在以下两种情况下： - 如果直线和平面垂直，它们的点积为零； - 如果直线和平面平行，它们的叉积为零。 所以，我们只需要计算点积或叉积的值，就可以判断出直线和平面的位置关系，这样更加简便和快捷。而求出直线方向向量与平面法向量的夹角只是另一种方式，但并不是必须的。