Question

高等数学中，求微分方程y″=1十y^2的通解。

Answer 1

问：高等数学中，求微分方程y″=1十y^2的通解。

答：您好，这个微分方程的通解是y=c1x+c2+√(2)x-√(2)x。这是一个二阶非齐次常微分方程，可以使用常系数非齐次线性微分方程的通解公式来求解。首先，我们需要求出对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，然后将它们相加即可得到原方程的通解。对应的齐次方程为y″=0，它的通解为y=c1x+c2，其中c1和c2为任意常数。现在我们来求非齐次方程的一个特解。根据常系数非齐次线性微分方程的通解公式，我们可以猜测一个特解为y=1/x，将它代入原方程得到：y″=2/x^3y^2=1/x^2将上述两个式子代入原方程得到：2/x^3=1+1/x^2化简得到：x^2y″+xy′=x+y^2将y=1/x代入上式得到：x^2(-2/x^3)+x(1/x^2)=x+(1/x)^2化简得到：2=x^4+1解得：x^2=±√(1/2)因此，我们可以得到两个特解：y1=√(2)xy2=-√(2)x因此，原方程的通解为：y=c1x+c2+√(2)x-√(2)x其中c1和c2为任意常数。