Question

已知，在梯形ABCD中，AD‖BC ，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3...

已知，在梯形ABCD中，AD‖BC ，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在AB上是否存在点P，使得以P，A，D为定点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P点有几个，并计算AB的长。

Answer 1

求AP的长吧？
存在
分两种情况：
设AP=x
则BP=7-x
（1）当△APD∽△BCP时
AP×PB=AD×BC
∴x(7-x)=2×3
∴x^2-7x+6=0
∴x=1或x=6

（2）当△APD∽△BPC时
AP:PB=AD:BC
x:(7-x)=2:3
解得：x=2.8

即当AP=1或AP=6或AP=2.8时，以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似

Answer 2

用面积来求:
过c点作CH⊥AB于H,连OC,OB,则AH=CD=3,故BH=AB-AH=4-3=1
∴CH=√BC^2-BH^2=4√3
∴AD=4√3
∴OD=OA=2√3
则S△BOC=S梯-S△OCD-S△OAB=1/2(3+4)*4√3-1/2*3*2√3-1/2*4*2√3=7√3
∴1/2*BC*h=7√3
o到BC的距离h=2√3

Answer 3

解：
设ap=x,则bp=7-x
若△dap相似于△pbc
则ad/ap=pb/bc或ad/ap=bc/pb
即
2/x=(7-x)/3或2/x=3/(7-x)
化简得
x*x-7x+6=0或5x=14
解得
x=1或x=6或x=2.8
答：在AB上是否存在点P，使得以P，A，D为定点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似，p有3个，ap长分别为1，2.8和6
为什计算ab啊？ab不是7吗

Answer 4

有两种可能,一种是AP/BP=AD/BC,设AP=x,x/(7-x)=2/3,x=14/5,AP=14/5,
第二种情况,AP/BC=AD/BP,设AP=x,x/3=2/(7-x),x=1,x=6,AP=1,AP=6,
因此在线段AB上存在点P,使得△ADP∽△BPC,
∴共有三个点,1、AP=1,2、AP=6,3、AP=14/5.