Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

（1）y=x 2 -2x-3；（2）存在点P，P点的坐标为（ ，? ）；（3）P点的坐标为( ，? )，四边形ABPC的面积的最大值为 .

试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． （1）将B、C两点的坐标代入得 ，解得： ； 所以二次函数的表达式为：y=x 2 -2x-3 （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形； 设P点坐标为（x，x 2 -2x-3），PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO； 连接PP′，则PE⊥CO于E， ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC= ∴y=? ； ∴x 2 -2x-3=? 解得x 1 = ，x 2 = （不合题意，舍去）， ∴P点的坐标为（ ，? ） （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x 2 -2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则 ，解得： ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x 2 -2x-3， 解得：x 1 =-1，x 2 =3， ∴AO=1，AB=4， S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ = AB?OC+ QP?BF+ QP?OF = ×4×3+ (?x 2 +3x)×3 =? (x? ) 2 + 当x= 时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为( ，? )，四边形ABPC的面积的最大值为