Question

数学高中：已知函数f（x）=2sin（wx），其中常数w＞0，（1）若y=f（x）在[-π/4，2π/3]上单调递增

已知函数f（x）=2sin（wx），其中常数w＞0，
（1）若y=f（x）在[-π/4，2π/3]上单调递增，求w的取值范围；
（2）令w=4，将函数y=f（x）的图像向左平移π/12个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图像，区间[a，b]（a，b∈R且a＞b），满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所得满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值。
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

1. f(x)=2sin(ωx)

   单调递增区间ωx∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2)    ——将ωx看成整体

   对照[-π/4,2π/3]有ωx∈[-ωπ/4,2ωπ/3]

   -ωπ/4>-π/2及2ωπ/3<π/2

   ω<2∩ω<¾→ω∈(0,¾)

2. f(x)=2sin(4x)左平移π/12个单位→f(x)=2sin(4x+π/12) （左正右负）

   再向上平移1个单位→g(x)=2sin(4x+π/12)+1               （上正下负）

   显然当a，b正好是零点时，b-a取得最小值                     （一点也不浪费）

   g(x)=2sin(4x+π/12)+1=0

   sin(4x+π/12)=-½
   

   4x+π/12=2kπ-π/6→x=kπ/2-π/16

   4x+π/12=2kπ+π+π/6→x=kπ/2+13π/48
   

   ∴相邻的两个零点之间的距离是=π/3或π/6
   

   ∴至少含有20个零点，b-a≥10·π/6+9·π/3=14π/3

   
   

   
   

Answer 2

有一道基本相同
已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．
（1）解析：∵f(x)=2sin(wx),(w>0)
∴f(x)初相为零,∴其图像离Y轴最近最大值点和最小值点关于原点对称
∵在区间[-π/4,2π/3]上f(x)单调增
最大值点：wx=2kπ+π/2==> x=2kπ/w+π/(2w)
只须,π/(2w)>=2π/3==>w<=3/4
∴0<w<=3/4
(2)解析：令w=2
由题意g(x)=f(x+π/6)+1=2sin(2x+π/3)+1
∵在区间[a,b]（a<b）上
∵在正弦函数一个完整周期内有二个零点
要在区间[a,b]上,g(x)图像至少有30个零点
则在至少要包含30/2个周期T
∵g(x)=2sin(2x+π/3)+1=0
==>2x+π/3=2kπ-π/6==>x=kπ-π/4,（k∈Z）
==>2x+π/3=2kπ-5π/6==>x=kπ-7π/12
g(x)Y轴左侧第一个零点-π/4,是第二个零点是-7π/12
∴一个完整周期内有二个零点,间距π/3,第二个零点到下一周期第一个零点间距是2π/3
∴b-a的最小值为(30/2)*π/3+(30-2)/2*2π/3=43π/3

以下如图示在E,F点之间含4个零点

F-E=(4/2)*π/3+(4-2)/2*2π/3=4π/3

Answer 3

（1）解析：∵f(x)=2sin(wx),(w>0)
∴f(x)初相为零,∴其图像离Y轴最近最大值点和最小值点关于原点对称
∵在区间[-π/4,2π/3]上f(x)单调增
最大值点：wx=2kπ+π/2==> x=2kπ/w+π/(2w)
只须,π/(2w)>=2π/3==>w<=3/4
∴0<w<=3/4
(2)解析：令w=2
由题意g(x)=f(x+π/6)+1=2sin(2x+π/3)+1
∵在区间[a,b]（a<b）上
∵在正弦函数一个完整周期内有二个零点
要在区间[a,b]上,g(x)图像至少有30个零点
则在至少要包含30/2个周期T
∵g(x)=2sin(2x+π/3)+1=0
==>2x+π/3=2kπ-π/6==>x=kπ-π/4,（k∈Z）
==>2x+π/3=2kπ-5π/6==>x=kπ-7π/12
g(x)Y轴左侧第一个零点-π/4,是第二个零点是-7π/12
∴一个完整周期内有二个零点,间距π/3,第二个零点到下一周期第一个零点间距是2π/3
∴b-a的最小值为(30/2)*π/3+(30-2)/2*2π/3=43π/3

F-E=(4/2)*π/3+(4-2)/2*2π/3=4π/3